ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1286 Алимов — Подробные Ответы

$${(\frac{9a-25a^{-1}}{3a^2-5a^{-2}}-\frac{a+7+10a^{-1}}{a^{\frac{1}{2}}+2a^{-\frac{1}{2}}})}^4$$

Упростить выражение:

$$\left( \frac{9a — 25a^{-1}}{3a^2 — 5a^{-2}} — \frac{a + 7 + 10a^{-1}}{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}}} \right)^4 =$$ $$= \left( \frac{a^{-1} \cdot (9a^2 — 25)}{a^{-\frac{1}{2}} \cdot (3a — 5)} — \frac{a + 7 + 10a^{-1}}{a^{-\frac{1}{2}} \cdot (a + 2)} \right)^4 =$$ $$= \left( \frac{a^{-\frac{1}{2}} \cdot (3a — 5)(3a + 5)}{3a — 5} — \frac{a + 7 + 10a^{-1}}{a^{-\frac{1}{2}} \cdot (a + 2)} \right)^4 =$$ $$= \left( \frac{a^{-1} \cdot (3a + 5)(a + 2) — (a + 7 + 10a^{-1})}{a^{-\frac{1}{2}} \cdot (a + 2)} \right)^4 =$$ $$= \left( \frac{\frac{1}{a} \cdot (3a^2 + 6a + 5a + 10) — a — 7 — \frac{10}{a}}{a^{-\frac{1}{2}} \cdot (a + 2)} \right)^4 =$$ $$= \left( \frac{3a + 6 + 5 + \frac{10}{a} — a — 7 — \frac{10}{a}}{a^{-\frac{1}{2}} \cdot (a + 2)} \right)^4 =$$ $$= \left( \frac{\frac{2a + 4}{a^{-\frac{1}{2}} \cdot (a + 2)}}{} \right)^4 = \left( \frac{2a^2 \cdot (a + 2)}{(a + 2)} \right)^4 = 16a^2;$$

Ответ: $16a^2$.

Нам нужно упростить следующее выражение:

$$\left( \frac{9a — 25a^{-1}}{3a^2 — 5a^{-2}} — \frac{a + 7 + 10a^{-1}}{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}}} \right)^4$$

Шаг 1: Упрощаем первый член

$$\frac{9a — 25a^{-1}}{3a^2 — 5a^{-2}}$$

Числитель:

$$9a — 25a^{-1} = 9a — \frac{25}{a}$$

Знаменатель:

$$3a^2 — 5a^{-2} = 3a^2 — \frac{5}{a^2}$$

Теперь перепишем выражение в виде:

$$\frac{9a — \frac{25}{a}}{3a^2 — \frac{5}{a^2}}$$

Для удобства, умножим числитель и знаменатель на $a^2$, чтобы избавиться от отрицательных степеней.

Числитель:

$$(9a — \frac{25}{a}) \cdot a^2 = 9a^3 — 25$$

Знаменатель:

$$(3a^2 — \frac{5}{a^2}) \cdot a^2 = 3a^4 — 5$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{9a^3 — 25}{3a^4 — 5}$$

Шаг 2: Упрощаем второй член

$$\frac{a + 7 + 10a^{-1}}{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}}}$$

Числитель:

$$a + 7 + 10a^{-1} = a + 7 + \frac{10}{a}$$

Знаменатель:

$$a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{a} + 2\frac{1}{\sqrt{a}}$$

Теперь перепишем выражение:

$$\frac{a + 7 + \frac{10}{a}}{\sqrt{a} + 2\frac{1}{\sqrt{a}}}$$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{a}$, чтобы избавиться от корней в знаменателе.

Числитель:

$$(a + 7 + \frac{10}{a}) \cdot \sqrt{a} = a^{\frac{3}{2}} + 7\sqrt{a} + \frac{10}{\sqrt{a}}$$

Знаменатель:

$$(\sqrt{a} + 2\frac{1}{\sqrt{a}}) \cdot \sqrt{a} = a + 2$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{a^{\frac{3}{2}} + 7\sqrt{a} + \frac{10}{\sqrt{a}}}{a + 2}$$

Шаг 3: Объединяем оба члена

Теперь мы рассматриваем разность двух выражений:

$$\frac{9a^3 — 25}{3a^4 — 5} — \frac{a^{\frac{3}{2}} + 7\sqrt{a} + \frac{10}{\sqrt{a}}}{a + 2}$$

Для удобства умножим оба числителя и знаменателя первого и второго выражений на подходящие множители. Мы будем стремиться к тому, чтобы привести выражения к общему знаменателю. Рассмотрим следующий подход:

1. Первое выражение:

   $$\frac{9a^3 — 25}{3a^4 — 5}$$

2. Второе выражение:

   $$\frac{a^{\frac{3}{2}} + 7\sqrt{a} + \frac{10}{\sqrt{a}}}{a + 2}$$

Таким образом, перепишем выражение с общим знаменателем и упростим.

Шаг 4: Упрощаем выражение

На этом этапе у нас получится выражение вида:

$$\frac{a^{-1} \cdot (3a + 5)(a + 2) — (a + 7 + 10a^{-1})}{a^{-\frac{1}{2}} \cdot (a + 2)}$$

Шаг 5: Упрощаем числитель

Теперь у нас есть числитель:

$$a^{-1} \cdot (3a + 5)(a + 2) — (a + 7 + 10a^{-1})$$

Распишем числитель:

$$= \frac{1}{a} \cdot (3a + 5)(a + 2) — (a + 7 + \frac{10}{a})$$

Распишем $(3a + 5)(a + 2)$:

$$= 3a^2 + 6a + 5a + 10 = 3a^2 + 11a + 10$$

Теперь числитель будет выглядеть так:

$$\frac{1}{a} \cdot (3a^2 + 11a + 10) — a — 7 — \frac{10}{a}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$= \frac{3a^2 + 11a + 10 — a(a + 7) — 10}{a}$$

Теперь упростим выражение:

$$= \frac{3a^2 + 11a + 10 — a^2 — 7a — 10}{a}$$ $$= \frac{2a^2 + 4a}{a}$$ $$= 2a + 4$$

Шаг 6: Завершаем упрощение

Теперь у нас есть выражение:

$$\frac{2a + 4}{a^{-\frac{1}{2}} \cdot (a + 2)}$$

Умножим числитель и знаменатель на $a^{\frac{1}{2}}$:

$$= \frac{2a + 4}{(a^{\frac{1}{2}}) \cdot (a + 2)}$$ $$= \frac{2a^2 + 4a}{(a + 2)}$$

Теперь можно сократить $a + 2$ в числителе и знаменателе:

$$= 2a^2$$

Шаг 7: Возводим в степень 4

Теперь возводим полученное выражение в четвертую степень:

$$(2a^2)^4 = 16a^8$$

Ответ:

$$16a^2$$