ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1285 Алимов — Подробные Ответы

1. $${(\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2+ab}}-\frac{\sqrt{ab+b^2}}{\sqrt{ab}+b})}^{-2}-\frac{\sqrt{a^{3}b}+\sqrt{a{b}^3}}{2ab}$$
2. $$2) (\sqrt{a} + \sqrt{b})^{-2} \cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) + \frac{2 \left( a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}} \right)}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3} =$$ $$$$

Часть 1:

$$1) \left( \frac{a + \sqrt{ab}}{\sqrt{a^2 + ab}} — \frac{\sqrt{ab + b^2}}{\sqrt{ab} + b} \right)^{-2} — \frac{\sqrt{a^3b} + \sqrt{ab^3}}{2ab} =$$ $$= \left( \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} + b} — \frac{\sqrt{b} \cdot \sqrt{a + b}}{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} \right)^{-2} — \frac{\sqrt{ab} \cdot (\sqrt{a^2} + \sqrt{b^2})}{2\sqrt{ab} \cdot \sqrt{ab}} =$$ $$= \left( \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 — (a + b)}{\sqrt{a + b} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})} \right)^{-2} — \frac{a + b}{2\sqrt{ab}} =$$ $$= \left( \frac{a + 2\sqrt{ab} + b — a — b}{\sqrt{a + b} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})} \right)^{-2} — \frac{a + b}{2\sqrt{ab}} =$$ $$= \left( \frac{\sqrt{a + b} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{2\sqrt{ab}} \right)^{-2} — \frac{a + b}{2\sqrt{ab}} =$$ $$= \frac{(a + b)(a + 2\sqrt{ab} + b) — 2\sqrt{ab}(a + b)}{4ab} =$$ $$= \frac{a^2 + 2a\sqrt{ab} + ab + ab + 2b\sqrt{ab} + b^2 — 2a\sqrt{ab} — 2b\sqrt{ab}}{4ab} =$$ $$= \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4ab} = \frac{(a + b)^2}{4ab};$$

Ответ: $\boxed{\frac{(a + b)^2}{4ab}}$.

Часть 2:

$$2) (\sqrt{a} + \sqrt{b})^{-2} \cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) + \frac{2 \left( a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}} \right)}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3} =$$ $$= \left( \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \right)^2 \cdot \frac{b + a}{ab} + \frac{2 \left( \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} \right)}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3} =$$ $$= \frac{a + b}{ab \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} + \frac{2 (\sqrt{b} + \sqrt{a})}{\sqrt{ab} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})^3} =$$ $$= \frac{a + b}{ab \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} + \frac{2 \cdot \sqrt{ab}}{ab \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} =$$ $$= \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{ab \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} = \frac{1}{ab}.$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{ab}}$.

Часть 1:

Упростим выражение:

$$\left( \frac{a + \sqrt{ab}}{\sqrt{a^2 + ab}} — \frac{\sqrt{ab + b^2}}{\sqrt{ab} + b} \right)^{-2} — \frac{\sqrt{a^3b} + \sqrt{ab^3}}{2ab}$$

Шаг 1: Рассмотрим первую часть выражения.

Первая часть выражения:

$$\left( \frac{a + \sqrt{ab}}{\sqrt{a^2 + ab}} — \frac{\sqrt{ab + b^2}}{\sqrt{ab} + b} \right)$$

1.1. Упростим первый член.

Начнем с числителя первого члена $\frac{a + \sqrt{ab}}{\sqrt{a^2 + ab}}$.

Выражение $a^2 + ab$ можно записать как:

$$a^2 + ab = a \cdot (a + b)$$

Тогда $\sqrt{a^2 + ab}$ станет:

$$\sqrt{a^2 + ab} = \sqrt{a \cdot (a + b)} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a + b}$$

Таким образом, первый член примет вид:

$$\frac{a + \sqrt{ab}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a + b}} = \frac{a}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a + b}} + \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a + b}}$$

Распишем это как:

$$= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a + b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a + b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a + b}}$$

1.2. Упростим второй член.

Теперь рассмотрим второй член $\frac{\sqrt{ab + b^2}}{\sqrt{ab} + b}$.

Числитель можно записать как:

$$\sqrt{ab + b^2} = \sqrt{b(a + b)}$$

Тогда второй член примет вид:

$$\frac{\sqrt{b(a + b)}}{\sqrt{ab} + b} = \frac{\sqrt{b} \cdot \sqrt{a + b}}{\sqrt{ab} + b}$$

Так как $\sqrt{ab} + b = \sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})$, то второй член становится:

$$\frac{\sqrt{b} \cdot \sqrt{a + b}}{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a + b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$

1.3. Объединение двух членов.

Теперь объединяем оба члена:

$$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a + b}} — \frac{\sqrt{a + b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$= \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 — (a + b)}{\sqrt{a + b} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})}$$

Раскроем числитель:

$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$$

Тогда числитель:

$$a + 2\sqrt{ab} + b — a — b = 2\sqrt{ab}$$

Таким образом, выражение становится:

$$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a + b} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})}$$

1.4. Возведение в степень.

Теперь, поскольку выражение возводится в степень $-2$, то:

$$\left( \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a + b} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})} \right)^{-2} = \frac{(\sqrt{a + b} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b}))^2}{4ab}$$

Распишем числитель:

$$(\sqrt{a + b} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b}))^2 = (a + b)(a + 2\sqrt{ab} + b)$$

Таким образом, выражение примет вид:

$$\frac{(a + b)(a + 2\sqrt{ab} + b)}{4ab}$$

Шаг 2: Упростим вторую часть выражения.

Теперь рассмотрим вторую часть выражения:

$$— \frac{\sqrt{a^3b} + \sqrt{ab^3}}{2ab}$$

Распишем числитель:

$$\sqrt{a^3b} = a^{3/2}b^{1/2}, \quad \sqrt{ab^3} = a^{1/2}b^{3/2}$$

Тогда:

$$\frac{\sqrt{a^3b} + \sqrt{ab^3}}{2ab} = \frac{a^{3/2}b^{1/2} + a^{1/2}b^{3/2}}{2ab}$$

Выносим общий множитель $a^{1/2}b^{1/2}$:

$$= \frac{a^{1/2}b^{1/2}(a + b)}{2ab} = \frac{a + b}{2\sqrt{ab}}$$

Шаг 3: Объединяем выражения.

Теперь объединяем все части:

$$\frac{(a + b)(a + 2\sqrt{ab} + b)}{4ab} — \frac{a + b}{2\sqrt{ab}}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$= \frac{(a + b)(a + 2\sqrt{ab} + b) — 2\sqrt{ab}(a + b)}{4ab}$$

В числителе выделяем $(a + b)$:

$$= \frac{(a + b)\left(a + 2\sqrt{ab} + b — 2\sqrt{ab}\right)}{4ab} = \frac{(a + b)(a + b)}{4ab}$$

Таким образом, результат:

$$\frac{(a + b)^2}{4ab}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{(a + b)^2}{4ab}}$$

Часть 2:

Упростим выражение:

$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{-2} \cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) + \frac{2 \left( a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}} \right)}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3}$$

Шаг 1: Упростим первую часть.

Первая часть выражения:

$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{-2} \cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)$$

Распишем $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ как:

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$$

Таким образом, первая часть становится:

$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{-2} \cdot \frac{a + b}{ab} = \frac{a + b}{ab \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$$

Шаг 2: Упростим вторую часть.

Теперь рассмотрим вторую часть выражения:

$$\frac{2 \left( a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}} \right)}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3}$$

Распишем числитель:

$$2 \left( a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}} \right) = 2 \left( \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} \right)$$

Таким образом, вторая часть становится:

$$\frac{2 \left( \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} \right)}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3}$$

Шаг 3: Объединение.

Теперь объединим обе части:

$$\frac{a + b}{ab \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} + \frac{2 (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})^3}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$= \frac{a + b + 2\sqrt{ab}}{ab \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})^3}$$

Так как числитель и знаменатель одинаковы, получаем:

$$\frac{1}{ab}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{ab}}$$