ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1281 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение (1281—1288).

1. $$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{\frac{1}{2}}} \cdot \left( \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 — x^{\frac{1}{2}}} — \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} — x} \right) = \frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} \cdot \left( \frac{\sqrt{x}}{1 — \sqrt{x}} — \frac{1}{\sqrt{x} \cdot (1 — \sqrt{x})} \right) =$$ $$= \frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} \cdot \frac{x — 1}{\sqrt{x} \cdot (1 — \sqrt{x})} = \frac{x — 1}{(1 + \sqrt{x})(1 — \sqrt{x})} = \frac{x — 1}{1 — x} = -1;$$
2. $$\frac{m+2m^{\frac{1}{2}}+1}{2m^{\frac{1}{2}}}\cdot (\frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}-1}-\frac{4m^{\frac{1}{2}}}{m-1})$$$$= \frac{\sqrt{m} + 1}{2\sqrt{m}} \cdot \frac{2\sqrt{m} \cdot (\sqrt{m} — 1)}{\sqrt{m} — 1} = \frac{\sqrt{m} + 1}{2\sqrt{m}} \cdot 2\sqrt{m} = \sqrt{m} + 1;$$

1)

$$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{\frac{1}{2}}} \cdot \left( \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 — x^{\frac{1}{2}}} — \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} — x} \right) = \frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} \cdot \left( \frac{\sqrt{x}}{1 — \sqrt{x}} — \frac{1}{\sqrt{x} \cdot (1 — \sqrt{x})} \right) =$$ $$= \frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} \cdot \frac{x — 1}{\sqrt{x} \cdot (1 — \sqrt{x})} = \frac{x — 1}{(1 + \sqrt{x})(1 — \sqrt{x})} = \frac{x — 1}{1 — x} = -1;$$

Ответ: $-1$.

2)

$$\frac{m + 2m^{\frac{1}{2}} + 1}{2m^{\frac{1}{2}}} \cdot \left( \frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} — 1} — \frac{4m^{\frac{1}{2}}}{m — 1} \right) = \frac{m + 2\sqrt{m} + 1}{2\sqrt{m}} \cdot \left( \frac{2\sqrt{m}}{\sqrt{m} — 1} — \frac{4\sqrt{m}}{m — 1} \right) =$$ $$= \frac{(\sqrt{m} + 1)^2}{2\sqrt{m}} \cdot \frac{2\sqrt{m} \cdot (\sqrt{m} + 1) — 4\sqrt{m}}{(\sqrt{m} — 1)(\sqrt{m} + 1)} = \frac{\sqrt{m} + 1}{2\sqrt{m}} \cdot \frac{2m + 2\sqrt{m} — 4\sqrt{m}}{\sqrt{m} — 1} =$$ $$= \frac{\sqrt{m} + 1}{2\sqrt{m}} \cdot \frac{2\sqrt{m} \cdot (\sqrt{m} — 1)}{\sqrt{m} — 1} = \frac{\sqrt{m} + 1}{2\sqrt{m}} \cdot 2\sqrt{m} = \sqrt{m} + 1;$$

Ответ: $\sqrt{m} + 1$.

Задача 1:

Дано выражение:

$$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{\frac{1}{2}}} \cdot \left( \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 — x^{\frac{1}{2}}} — \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} — x} \right)$$

Начнем с того, что $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$, поэтому выражение можно переписать как:

$$\frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} \cdot \left( \frac{\sqrt{x}}{1 — \sqrt{x}} — \frac{1}{\sqrt{x} \cdot (1 — \sqrt{x})} \right)$$

Далее нужно упростить выражение в скобках:

$$\frac{\sqrt{x}}{1 — \sqrt{x}} — \frac{1}{\sqrt{x} \cdot (1 — \sqrt{x})}$$

Чтобы выполнить вычитание дробей, нужно привести их к общему знаменателю. У первой дроби знаменатель $1 — \sqrt{x}$, а у второй $\sqrt{x} \cdot (1 — \sqrt{x})$. Общий знаменатель будет $\sqrt{x} \cdot (1 — \sqrt{x})$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{\sqrt{x}}{1 — \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot (1 — \sqrt{x})} = \frac{x}{\sqrt{x} \cdot (1 — \sqrt{x})}$$ $$\frac{1}{\sqrt{x} \cdot (1 — \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x} \cdot (1 — \sqrt{x})}$$

Теперь вычитаем эти дроби:

$$\frac{x}{\sqrt{x} \cdot (1 — \sqrt{x})} — \frac{1}{\sqrt{x} \cdot (1 — \sqrt{x})} = \frac{x — 1}{\sqrt{x} \cdot (1 — \sqrt{x})}$$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$$\frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} \cdot \frac{x — 1}{\sqrt{x} \cdot (1 — \sqrt{x})}$$

Упростим это выражение. Мы видим, что в числителе и знаменателе есть $\sqrt{x}$, которые взаимно сокращаются:

$$\frac{1}{1 + \sqrt{x}} \cdot \frac{x — 1}{1 — \sqrt{x}}$$

Теперь упростим дробь $\frac{x — 1}{1 — \sqrt{x}}$. Заметим, что $1 — \sqrt{x}$ — это вид разности квадратов, поэтому можно записать:

$$(1 + \sqrt{x})(1 — \sqrt{x}) = 1 — x$$

Таким образом, выражение становится:

$$\frac{x — 1}{1 — x} = -1$$

Ответ: $-1$.

Задача 2:

Дано выражение:

$$\frac{m + 2m^{\frac{1}{2}} + 1}{2m^{\frac{1}{2}}} \cdot \left( \frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} — 1} — \frac{4m^{\frac{1}{2}}}{m — 1} \right)$$

Начнем с того, что $m^{\frac{1}{2}} = \sqrt{m}$, поэтому выражение можно переписать как:

$$\frac{m + 2\sqrt{m} + 1}{2\sqrt{m}} \cdot \left( \frac{2\sqrt{m}}{\sqrt{m} — 1} — \frac{4\sqrt{m}}{m — 1} \right)$$

Теперь упростим выражение в скобках:

$$\frac{2\sqrt{m}}{\sqrt{m} — 1} — \frac{4\sqrt{m}}{m — 1}$$

Приведем эти две дроби к общему знаменателю. У первой дроби знаменатель $\sqrt{m} — 1$, а у второй $m — 1$. Заметим, что $m — 1 = (\sqrt{m} — 1)(\sqrt{m} + 1)$, т.е. общим знаменателем будет $(\sqrt{m} — 1)(\sqrt{m} + 1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{2\sqrt{m}}{\sqrt{m} — 1} = \frac{2\sqrt{m} \cdot (\sqrt{m} + 1)}{(\sqrt{m} — 1)(\sqrt{m} + 1)} = \frac{2m + 2\sqrt{m}}{(\sqrt{m} — 1)(\sqrt{m} + 1)}$$ $$\frac{4\sqrt{m}}{m — 1} = \frac{4\sqrt{m}}{(\sqrt{m} — 1)(\sqrt{m} + 1)}$$

Теперь вычитаем эти дроби:

$$\frac{2m + 2\sqrt{m} — 4\sqrt{m}}{(\sqrt{m} — 1)(\sqrt{m} + 1)} = \frac{2m — 2\sqrt{m}}{(\sqrt{m} — 1)(\sqrt{m} + 1)}$$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$$\frac{m + 2\sqrt{m} + 1}{2\sqrt{m}} \cdot \frac{2m — 2\sqrt{m}}{(\sqrt{m} — 1)(\sqrt{m} + 1)}$$

Упростим это выражение. Обратите внимание, что числитель второй дроби можно вынести за скобки:

$$\frac{2(m — \sqrt{m})}{(\sqrt{m} — 1)(\sqrt{m} + 1)}$$

Дальше упростим. Числитель первой дроби можно разложить:

$$m + 2\sqrt{m} + 1 = (\sqrt{m} + 1)^2$$

Таким образом, выражение станет:

$$\frac{(\sqrt{m} + 1)^2}{2\sqrt{m}} \cdot \frac{2(\sqrt{m} — 1)}{(\sqrt{m} — 1)(\sqrt{m} + 1)}$$

Теперь заметим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель $(\sqrt{m} — 1)$, который можно сократить. В итоге получаем:

$$\frac{(\sqrt{m} + 1)^2}{2\sqrt{m}} \cdot \frac{2(\sqrt{m} — 1)}{(\sqrt{m} + 1)(\sqrt{m} — 1)} = (\sqrt{m} + 1)$$

Ответ: $\sqrt{m} + 1$.

Итоги:

1. Ответ для задачи 1: $-1$.
2. Ответ для задачи 2: $\sqrt{m} + 1$.