ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1280 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение и найти его значение:

1)

$$\left(1 + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right) \cdot \left(1 — \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right) = 1 — \frac{a-x}{a+x} = \frac{a+x-(a-x)}{a+x} = \frac{2x}{a+x};$$

При $a = 5$, $x = 4$$$\frac{\mathrm{}}{}$$2)

$$\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{a+\sqrt{a^2-x^2}}$$$$= \frac{4a \cdot \sqrt{a^2-x^2}}{x^2};$$

При $a = 3$ и $x=\sqrt{5}$

1)

$$\left(1 + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right) \cdot \left(1 — \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right) = 1 — \frac{a-x}{a+x} = \frac{a+x-(a-x)}{a+x} = \frac{2x}{a+x};$$

Если $a = 5$ и $x = 4$, тогда:

$$\frac{2x}{a+x} = \frac{2 \cdot 4}{5+4} = \frac{8}{9};$$

Ответ: $\frac{8}{9}$.

2)

$$\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}} — \frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{a+\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right)^2 — \left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)^2}{\left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right)} =$$ $$= \frac{a^2 + 2a \cdot \sqrt{a^2-x^2} + (a^2-x^2) — \left(a^2 — 2a \cdot \sqrt{a^2-x^2} + (a^2-x^2)\right)}{a^2 — (a^2-x^2)} =$$ $$= \frac{4a \cdot \sqrt{a^2-x^2}}{x^2};$$

Если $a = 3$ и $x = \sqrt{5}$, тогда:

$$\frac{4a \cdot \sqrt{a^2-x^2}}{x^2} = \frac{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{3^2-(\sqrt{5})^2}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{12 \sqrt{9-5}}{5} = \frac{12 \sqrt{4}}{5} = \frac{24}{5} = 4,8;$$

Ответ: $4,8$.

Задание 1

Нам нужно упростить выражение:

$$\left(1 + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right) \cdot \left(1 — \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)$$

Шаг 1: Используем формулу разности квадратов

Рассмотрим произведение двух выражений. Это стандартная формула разности квадратов:

$$(1 + A)(1 — A) = 1^2 — A^2$$

где $A = \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}$.

Применяя эту формулу к нашему выражению:

$$\left(1 + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right) \cdot \left(1 — \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right) = 1^2 — \left(\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)^2$$

Получаем:

$$1 — \frac{a-x}{a+x}$$

Шаг 2: Упрощаем дробь

Теперь у нас есть выражение $1 — \frac{a-x}{a+x}$. Приведем это к общему знаменателю:

$$1 — \frac{a-x}{a+x} = \frac{(a+x)}{(a+x)} — \frac{a-x}{a+x} = \frac{(a+x) — (a-x)}{a+x}$$

Шаг 3: Упрощаем числитель

В числителе получаем:

$$(a+x) — (a-x) = a + x — a + x = 2x$$

Таким образом, выражение становится:

$$\frac{2x}{a+x}$$

Шаг 4: Подставляем значения

Теперь подставляем значения $a = 5$ и $x = 4$:

$$\frac{2x}{a+x} = \frac{2 \cdot 4}{5 + 4} = \frac{8}{9}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{8}{9}}$$

Задание 2

Нам нужно упростить выражение:

$$\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}} — \frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{a+\sqrt{a^2-x^2}}$$

Шаг 1: Применяем разность квадратов

Для упрощения используем формулу разности квадратов:

$$\frac{A}{B} — \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D — B \cdot C}{B \cdot D}$$

где $A = a + \sqrt{a^2 — x^2}$, $B = a — \sqrt{a^2 — x^2}$, $C = a — \sqrt{a^2 — x^2}$, $D = a + \sqrt{a^2 — x^2}$.

Итак, выражение можно записать как:

$$\frac{\left( a + \sqrt{a^2 — x^2} \right)^2 — \left( a — \sqrt{a^2 — x^2} \right)^2}{\left( a — \sqrt{a^2 — x^2} \right) \left( a + \sqrt{a^2 — x^2} \right)}$$

Шаг 2: Упрощаем числитель

В числителе применяем формулу разности квадратов:

$${(a+\sqrt{a^2-x^2})}^2-{(a-\sqrt{a^2-x^2})}^2=$$

$$\left( a + \sqrt{a^2 — x^2} \right)^2 — \left( a — \sqrt{a^2 — x^2} \right)^2 = \left[ \left( a + \sqrt{a^2 — x^2} \right) — \left( a — \sqrt{a^2 — x^2} \right) \right] \cdot \left[ \left( a + \sqrt{a^2 — x^2} \right) + \left( a — \sqrt{a^2 — x^2} \right) \right]$$

Приводим обе скобки:

$$\left( a + \sqrt{a^2 — x^2} \right) — \left( a — \sqrt{a^2 — x^2} \right) = 2 \sqrt{a^2 — x^2}$$

и

$$\left( a + \sqrt{a^2 — x^2} \right) + \left( a — \sqrt{a^2 — x^2} \right) = 2a$$

Таким образом, числитель равен:

$$2 \sqrt{a^2 — x^2} \cdot 2a = 4a \cdot \sqrt{a^2 — x^2}$$

Шаг 3: Упрощаем знаменатель

Теперь считаем знаменатель:

$$\left( a — \sqrt{a^2 — x^2} \right) \cdot \left( a + \sqrt{a^2 — x^2} \right)$$

Это также разность квадратов:

$$a^2 — \left( \sqrt{a^2 — x^2} \right)^2 = a^2 — (a^2 — x^2) = x^2$$

Шаг 4: Получаем конечное выражение

Теперь получаем конечную форму выражения:

$$\frac{4a \cdot \sqrt{a^2 — x^2}}{x^2}$$

Шаг 5: Подставляем значения

Теперь подставляем значения $a = 3$ и $x = \sqrt{5}$:

$$\frac{4a \cdot \sqrt{a^2 — x^2}}{x^2} = \frac{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{3^2 — (\sqrt{5})^2}}{(\sqrt{5})^2}$$

Вычисляем:

$$3^2 = 9, \quad (\sqrt{5})^2 = 5$$

Следовательно:

$$\sqrt{9 — 5} = \sqrt{4} = 2$$

Теперь подставляем это значение:

$$\frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{5} = \frac{24}{5} = 4,8$$

Ответ:

$$\boxed{4,8}$$