ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 128 Алимов — Подробные Ответы

Пользуясь рисунком 13 (с. 45), найти промежутки, на которых график функции: 1) у = х1/5; 2) у = х5/3 — лежит выше (ниже) графика функции у = х.

Найти промежутки, на которых график функции лежит выше (ниже) графика функции

$y = x$

.

1)

$y = x^{\frac{1}{5}}$

График лежит выше:

$$x^{\frac{1}{5}} > x;$$

$$x^{\frac{1}{5}} — x > 0;$$

$$x^{\frac{1}{5}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{4}{5}} \right) > 0;$$

$$x^{\frac{1}{5}} \cdot \left( x^{\frac{4}{5}} — 1 \right) < 0;$$

$$x^{\frac{1}{5}} \cdot \left( x^{\frac{2}{5}} — 1 \right) \left( x^{\frac{2}{5}} + 1 \right) < 0;$$

$$x^{\frac{1}{5}} \cdot \left( x^{\frac{1}{5}} — 1 \right) \left( x^{\frac{1}{5}} + 1 \right) < 0;$$

$$x < -1 \text{ и } 0 < x < 1;$$

Функция определена при:

$x \geq 0$

;

Ответ: выше при

$x \in (0; 1)$

и ниже при

$x \in (1; +\infty)$

.

2)

$y = x^{\frac{5}{3}}$

График лежит выше:

$$x^{\frac{5}{3}} > x;$$

$$x^{\frac{5}{3}} — x > 0;$$

$$x \cdot \left( x^{\frac{2}{3}} — 1 \right) > 0;$$

$$\left( x^{\frac{1}{3}} + 1 \right) \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot \left( x^{\frac{1}{3}} — 1 \right) > 0;$$

$$-1 < x < 0 \text{ и } x > 1;$$

Функция определена при:

$x \geq 0$

;

Ответ: выше при

$x \in (1; +\infty)$

и ниже при

$x \in (0; 1)$

.

Ответ:

$$\boxed{ \text{1) выше при } x \in (0; 1), \text{ ниже при } x \in (1; +\infty); \\ \text{2) выше при } x \in (1; +\infty), \text{ ниже при } x \in (0; 1). }$$

Задача:

Найти промежутки, на которых график функции

$y = f(x)$

лежит выше (ниже) графика функции

$y = x$

, т.е. решить неравенство

$f(x) > x$

и

$f(x) < x$

.

Решение для функции

$y = x^{\frac{1}{5}}$

Шаг 1. Исходное неравенство

Определим, когда выполняется условие:

$$x^{\frac{1}{5}} > x$$

Преобразуем его:

$$x^{\frac{1}{5}} — x > 0.$$

Вынесем

$x^{\frac{1}{5}}$

за скобки:

$$x^{\frac{1}{5}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{4}{5}} \right) > 0.$$

Шаг 2. Анализ множителей

Рассмотрим два множителя:

$x^{\frac{1}{5}}$

– пятая степень числа

$x$

, определена при

$x \geq 0$

.

$1 — x^{\frac{4}{5}}$

– разность единицы и положительного числа.

Неравенство

$x^{\frac{1}{5}} \cdot (1 — x^{\frac{4}{5}}) > 0$

выполняется, когда:

• 
  $x^{\frac{1}{5}} > 0$ 

  и $1 — x^{\frac{4}{5}} > 0 \Rightarrow x^{\frac{4}{5}} < 1$ 

  , т.е. $0 < x < 1$ 

  .

Таким образом, график

$y = x^{\frac{1}{5}}$

выше графика

$y = x$

на интервале

$(0; 1)$

, а ниже — при

$x > 1$

.

Ответ:
График выше:

$x \in (0; 1)$

.
График ниже:

$x \in (1; +\infty)$

.

Решение для функции

$y = x^{\frac{5}{3}}$

Шаг 1. Исходное неравенство

Определим, когда выполняется условие:

$$x^{\frac{5}{3}} > x.$$

Преобразуем его:

$$x^{\frac{5}{3}} — x > 0.$$

Вынесем

$x$

за скобки:

$$x \cdot (x^{\frac{2}{3}} — 1) > 0.$$

Шаг 2. Анализ множителей

Рассмотрим два множителя:

$x$

– обычное число.

$x^{\frac{2}{3}} — 1$

– выражение, зависящее от

$x$

.

Неравенство

$x \cdot (x^{\frac{2}{3}} — 1) > 0$

выполняется, когда:

• 
  $x > 0$ 

  и $x^{\frac{2}{3}} > 1 \Rightarrow x > 1$ 

  .

Таким образом, график

$y = x^{\frac{5}{3}}$

выше графика

$y = x$

на интервале

$(1; +\infty)$

, а ниже — при

$0 < x < 1$

.

Ответ:
График выше:

$x \in (1; +\infty)$

.
График ниже:

$x \in (0; 1)$

.

Окончательный ответ:

$$\boxed{ \text{1) выше при } x \in (0; 1), \text{ ниже при } x \in (1; +\infty); \\ \text{2) выше при } x \in (1; +\infty), \text{ ниже при } x \in (0; 1). }$$