ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1277 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение (1277—1279).

1. $\frac{a+2}{a-2} \cdot \left( \frac{2a^2 — a — 3}{a^2 + 5a + 6} : \frac{2a-3}{a-2} \right)$;
2. $(2+\frac{1}{b}):\frac{8b^2+8b+2}{b^2-4b}\cdot \frac{2b+1}{b}$

1) $\frac{a+2}{a-2} \cdot \left( \frac{2a^2 — a — 3}{a^2 + 5a + 6} : \frac{2a-3}{a-2} \right)$;

Разложим многочлен в числителе дроби на множители:

$$2a^2 — a — 3 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 24 = 25, \text{тогда:}$$ $$a_1 = \frac{1 — 5}{2 \cdot 2} = -1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5;$$ $$2(a + 1)(a — 1.5) = 0;$$

Разложим многочлен в знаменателе дроби на множители:

$$a^2 + 5a + 6 = 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{тогда:}$$ $$a_1 = \frac{-5 — 1}{2} = -3 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2;$$ $$(a + 3)(a + 2) = 0;$$

Получим выражение:

$$\frac{a+2}{a-2} \cdot \left( \frac{2(a+1)(a-1.5)}{(a+3)(a+2)} : \frac{2a-3}{a-2} \right) = \frac{a+2}{a-2} \cdot \frac{(a+1)(2a-3)}{(a+3)(a+2)} \cdot \frac{a-2}{2a-3} = \frac{a+1}{a+3};$$

Ответ: $\boxed{\frac{a+1}{a+3}}$.

2) $\left( 2 + \frac{1}{b} \right) : \frac{8b^2 + 8b + 2}{b^2 — 4b} \cdot \frac{2b+1}{b} = \frac{2b+1}{b} : \frac{2 \cdot (4b^2 + 4b + 1)}{b \cdot (b-4)} \cdot \frac{2b+1}{b} =$

$$= \frac{(2b+1)^2}{b^2} : \frac{2 \cdot (2b+1)^2}{b \cdot (b-4)} = \frac{(2b+1)^2}{b^2} \cdot \frac{b \cdot (b-4)}{2 \cdot (2b+1)^2} = \frac{b-4}{2b};$$

Ответ: $\boxed{\frac{b-4}{2b}}$.

Пример 1:

$$\frac{a+2}{a-2} \cdot \left( \frac{2a^2 — a — 3}{a^2 + 5a + 6} : \frac{2a-3}{a-2} \right)$$

Решение выражения внутри скобок (деление дробей):

Для начала рассмотрим выражение внутри скобок:

$$\frac{2a^2 — a — 3}{a^2 + 5a + 6} : \frac{2a-3}{a-2}$$

Деление дробей можно заменить умножением на обратную дробь, то есть:

$$\frac{2a^2 — a — 3}{a^2 + 5a + 6} \cdot \frac{a-2}{2a-3}$$

Разложим многочлены на множители:

Теперь разложим многочлены на множители, чтобы упростить выражение.

Числитель первой дроби: $2a^2 — a — 3$.

Для разложения этого многочлена используем метод выделения корней. Найдем дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$

Корни уравнения $2a^2 — a — 3 = 0$ можно найти по формуле:

$$a_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 5}{4} = -1$$ $$a_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$

Следовательно, многочлен можно разложить на множители:

$$2a^2 — a — 3 = 2(a + 1)(a — 1.5)$$

Знаменатель первой дроби: $a^2 + 5a + 6$.

Находим дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Корни уравнения $a^2 + 5a + 6 = 0$:

$$a_1 = \frac{-5 — \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 — 1}{2} = -3$$ $$a_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 + 1}{2} = -2$$

Многочлен можно разложить на множители:

$$a^2 + 5a + 6 = (a + 3)(a + 2)$$

Подставляем разложенные множители в выражение:

Теперь подставим разложенные множители в исходное выражение:

$$\frac{2(a+1)(a-1.5)}{(a+3)(a+2)} \cdot \frac{a-2}{2a-3}$$

Упростим выражение:

Теперь у нас есть два множителя. Раскроем все и упростим:

$$\frac{2(a+1)(a-1.5)}{(a+3)(a+2)} \cdot \frac{a-2}{2a-3}$$

Сокращаем одинаковые множители, если они есть. Видим, что $2a-3$ в числителе второй дроби и в знаменателе первой дроби могут сократиться, а также $a+2$ в числителе первой дроби и в знаменателе второй дроби. Получаем:

$$\frac{a+1}{a+3}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{a+1}{a+3}}$$

Пример 2:

$$\left( 2 + \frac{1}{b} \right) : \frac{8b^2 + 8b + 2}{b^2 — 4b} \cdot \frac{2b+1}{b}$$

Решение выражения внутри скобок (деление):

Для начала рассмотрим выражение:

$$\left( 2 + \frac{1}{b} \right) : \frac{8b^2 + 8b + 2}{b^2 — 4b} \cdot \frac{2b+1}{b}$$

Преобразуем $2 + \frac{1}{b}$ в одну дробь:

$$2 + \frac{1}{b} = \frac{2b + 1}{b}$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{2b + 1}{b} : \frac{8b^2 + 8b + 2}{b^2 — 4b} \cdot \frac{2b+1}{b}$$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$$\frac{2b + 1}{b} \cdot \frac{b^2 — 4b}{8b^2 + 8b + 2} \cdot \frac{2b+1}{b}$$

Разложение многочленов на множители:

Числитель второй дроби: $8b^2 + 8b + 2$.

Вынесем общий множитель 2:

$$8b^2 + 8b + 2 = 2(4b^2 + 4b + 1)$$

Знаменатель второй дроби: $b^2 — 4b$.

Вынесем общий множитель $b$:

$$b^2 — 4b = b(b — 4)$$

Подставляем разложенные множители:

Теперь подставим разложенные множители в выражение:

$$\frac{2b + 1}{b} \cdot \frac{b(b — 4)}{2(4b^2 + 4b + 1)} \cdot \frac{2b+1}{b}$$

Упрощение выражения:

Сначала упростим выражение:

$$\frac{(2b + 1)^2}{b^2} \cdot \frac{b(b — 4)}{2(2b + 1)^2}$$

Сокращаем одинаковые множители $(2b + 1)^2$:

$$\frac{b(b — 4)}{2b^2}$$

Упростим дальше, сократив $b$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{b — 4}{2b}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{b-4}{2b}}$$