ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1276 Алимов — Подробные Ответы

1. sinacosa/(sin2a-cos2a) при tga=3/4;
2. sinacosa, если sina+cosa=1/3.

1) $\frac{\sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a — \cos^2 a}$, если $\operatorname{tg} a = \frac{3}{4}$;

$$\frac{\sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a — \cos^2 a} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 2 \sin a \cdot \cos a}{\cos^2 a — \sin^2 a} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = -\frac{1}{2} \cdot \operatorname{tg} 2a =$$ $$= -\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg}^2 a} = \frac{\operatorname{tg} a}{\operatorname{tg}^2 a — 1} = \frac{\frac{3}{4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^2 — 1} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{9}{16} — \frac{16}{16}} = -\frac{3}{4} : \frac{7}{16} =$$ $$= -\frac{3}{4} \cdot \frac{16}{7} = -\frac{3 \cdot 4}{7} = -\frac{12}{7};$$

Ответ: $-\frac{12}{7}$.

$\sin a \cdot \cos a$, если $\sin a + \cos a = \frac{1}{3}$;

$$\sin a + \cos a = \frac{1}{3};$$ $$(\sin a + \cos a)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2;$$ $$\sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a = \frac{1}{9};$$ $$1 + 2 \sin a \cdot \cos a = \frac{1}{9};$$ $$2 \sin a \cdot \cos a = -\frac{8}{9};$$ $$\sin a \cdot \cos a = -\frac{4}{9};$$

Ответ: $-\frac{4}{9}$.

Задача 1:

$$\frac{\sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a — \cos^2 a}, \quad \text{если} \quad \operatorname{tg} a = \frac{3}{4}$$

1.1 Используем тригонометрические тождества

Для того чтобы упростить выражение, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами. Мы знаем следующее:

$$\sin^2 a — \cos^2 a = -\cos 2a \quad \text{и} \quad \sin 2a = 2 \sin a \cos a$$

Таким образом, можно выразить знаменатель как:

$$\sin^2 a — \cos^2 a = -\cos 2a$$

1.2 Переписываем выражение

Теперь перепишем исходное выражение, используя эти тождества:

$$\frac{\sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a — \cos^2 a} = \frac{\sin a \cdot \cos a}{-\cos 2a} = -\frac{\sin 2a}{2 \cos 2a} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = -\frac{1}{2} \cdot \operatorname{tg} 2a$$

1.3 Выражаем $\operatorname{tg} 2a$

Теперь воспользуемся формулой для тангенса удвоенного угла:

$$\operatorname{tg} 2a = \frac{2 \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg}^2 a}$$

Из условия задачи известно, что $\operatorname{tg} a = \frac{3}{4}$. Подставляем это значение в формулу для $\operatorname{tg} 2a$:

$$\operatorname{tg} 2a = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{6}{4}}{1 — \frac{9}{16}} = \frac{\frac{6}{4}}{\frac{7}{16}} = \frac{6}{4} \cdot \frac{16}{7} = \frac{96}{28} = \frac{24}{7}$$

1.4 Подставляем значение $\operatorname{tg} 2a$ в исходное выражение

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$$-\frac{1}{2} \cdot \operatorname{tg} 2a = -\frac{1}{2} \cdot \frac{24}{7} = -\frac{24}{14} = -\frac{12}{7}$$

Ответ:

$$-\frac{12}{7}$$

Задача 2:

$$\sin a \cdot \cos a, \quad \text{если} \quad \sin a + \cos a = \frac{1}{3}$$

2.1 Квадрат суммы $\sin a + \cos a$

Начнем с того, что возведем в квадрат обе части равенства $\sin a + \cos a = \frac{1}{3}$:

$$(\sin a + \cos a)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2$$

Раскроем левую часть:

$$\sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a = \frac{1}{9}$$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$, подставим это в выражение:

$$1 + 2 \sin a \cdot \cos a = \frac{1}{9}$$

2.2 Решаем для $\sin a \cdot \cos a$

Теперь выразим $2 \sin a \cdot \cos a$ из этого уравнения:

$$2 \sin a \cdot \cos a = \frac{1}{9} — 1 = \frac{1}{9} — \frac{9}{9} = -\frac{8}{9}$$

Делим обе части на 2:

$$\sin a \cdot \cos a = -\frac{4}{9}$$

Ответ:

$$-\frac{4}{9}$$