ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1274 Алимов — Подробные Ответы

1. ctg (arctg корень 3);
2. ctg (arctg 1);
3. sin (arctg(- корень 3));
4. sin(arctg 1/корень3);
5. cos (arctg 1);
6. cos (arctg (-корень 3)).

$\operatorname{ctg}(\arctg \sqrt{3}) = \frac{1}{\tg(\arctg \sqrt{3})} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3};$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

$\operatorname{ctg}(\arctg 1) = \frac{1}{\tg(\arctg 1)} = \frac{1}{1} = 1;$

Ответ: 1.

$\sin(\arctg(-\sqrt{3})) = \sin(-\arctg \sqrt{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2};$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\sin\left(\arctg \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2};$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

$\cos(\arctg 1) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\cos\left(\arctg(-\sqrt{3})\right) = \cos(-\arctg \sqrt{3}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2};$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

Задача 1:

$$\operatorname{ctg}(\arctg \sqrt{3})$$

1.1 Определение $\operatorname{ctg} x$

Котангенс — это обратная функция для тангенса. То есть:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\tan x}$$

1.2 Определение $\operatorname{arctg} \sqrt{3}$

Функция $\operatorname{arctg} x$ — это обратная функция для тангенса. То есть, $\operatorname{arctg} x = y$ означает, что $\tan y = x$ и $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Для $\operatorname{arctg} \sqrt{3}$ ищем угол $y$, для которого $\tan y = \sqrt{3}$. Известно, что $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. Следовательно:

$$\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$$

1.3 Подставляем в выражение для котангенса

Теперь, зная, что $\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$, мы можем вычислить:

$$\operatorname{ctg}(\arctg \sqrt{3}) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\tan \frac{\pi}{3}}$$

Так как $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, получаем:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Задача 2:

$$\operatorname{ctg}(\arctg 1)$$

2.1 Определение $\operatorname{arctg} 1$

Для $\operatorname{arctg} 1$ ищем угол $y$, для которого $\tan y = 1$. Известно, что $\tan \frac{\pi}{4} = 1$. Следовательно:

$$\operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4}$$

2.2 Подставляем в выражение для котангенса

Теперь, зная, что $\operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4}$, мы можем вычислить:

$$\operatorname{ctg}(\arctg 1) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\tan \frac{\pi}{4}}$$

Так как $\tan \frac{\pi}{4} = 1$, получаем:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} = 1$$

Ответ:

$$1$$

Задача 3:

$$\sin(\arctg(-\sqrt{3}))$$

3.1 Определение $\arctg(-\sqrt{3})$

Для $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})$ ищем угол $y$, для которого $\tan y = -\sqrt{3}$. Известно, что $\tan \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\sqrt{3}$. Следовательно:

$$\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$$

3.2 Подставляем в выражение для синуса

Теперь, зная, что $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, мы можем вычислить:

$$\sin(\arctg(-\sqrt{3})) = \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right)$$

Используем свойство синуса для отрицательных углов:

$$\sin(-x) = -\sin(x)$$

Таким образом:

$$\sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\sin \frac{\pi}{3}$$

Известно, что $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно:

$$\sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ:

$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Задача 4:

$$\sin\left(\arctg \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$

4.1 Определение $\arctg \frac{1}{\sqrt{3}}$

Для $\operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}}$ ищем угол $y$, для которого $\tan y = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Известно, что $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Следовательно:

$$\operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$$

4.2 Подставляем в выражение для синуса

Теперь, зная, что $\operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$, мы можем вычислить:

$$\sin\left(\arctg \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \sin \frac{\pi}{6}$$

Известно, что:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Ответ:

$$\frac{1}{2}$$

Задача 5:

$$\cos(\arctg 1)$$

5.1 Определение $\arctg 1$

Для $\operatorname{arctg} 1$ ищем угол $y$, для которого $\tan y = 1$. Известно, что $\tan \frac{\pi}{4} = 1$. Следовательно:

$$\operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4}$$

5.2 Подставляем в выражение для косинуса

Теперь, зная, что $\operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4}$, мы можем вычислить:

$$\cos(\arctg 1) = \cos \frac{\pi}{4}$$

Известно, что:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Задача 6:

$$\cos\left(\arctg(-\sqrt{3})\right)$$

6.1 Определение $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})$

Для $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})$ ищем угол $y$, для которого $\tan y = -\sqrt{3}$. Известно, что $\tan \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\sqrt{3}$. Следовательно:

$$\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$$

6.2 Подставляем в выражение для косинуса

Теперь, зная, что $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, мы можем вычислить:

$$\cos\left(\arctg(-\sqrt{3})\right) = \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right)$$

Используем свойство косинуса для отрицательных углов:

$$\cos(-x) = \cos(x)$$

Таким образом:

$$\cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) = \cos \frac{\pi}{3}$$

Известно, что $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, следовательно:

$$\cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$$

Ответ:

$$\frac{1}{2}$$