ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 127 Алимов — Подробные Ответы

1. у = (х — 2)7;
2. у = (х + 1 )6;
3. у = (х + 2)^-2;
4. у = (х-1)^-3.

1)

$y = (x — 2)^7$

График данной функции является графиком функции

$y = x^7$

, сдвинутым вдоль оси абсцисс на 2 единицы вправо, значит:

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Функция является возрастающей;
• Функция не является ограниченной;

Схематический график функции:

2)

$y = (x + 1)^5$

График данной функции является графиком функции

$y = x^5$

, сдвинутым вдоль оси абсцисс на 1 единицу влево, значит:

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Функция является возрастающей;
• Функция не является ограниченной;

Схематический график функции:

3)

$y = (x + 2)^{-2}$

График данной функции является графиком функции

$y = x^{-2}$

, сдвинутым вдоль оси абсцисс на 2 единицы влево, значит:

• Область определения:
  $x \neq -2$ 

  ;

• Множество значений:
  $y > 0$ 

  ;

• Функция возрастает на
  $(-\infty; -2)$ 

  и убывает на $(-2; +\infty)$ 

  ;

• Функция ограничена снизу;

Схематический график функции:

4)

$y = (x — 1)^{-3}$

График данной функции является графиком функции

$y = x^{-3}$

, сдвинутым вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо, значит:

• Область определения:
  $x \neq 1$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \neq 0$ 

  ;

• Функция убывает на всей области определения;
• Функция не является ограниченной;

Схематический график функции:

Ответ:

$$\boxed{ \text{1) } y = (x — 2)^7; \quad \text{2) } y = (x + 1)^5; \quad \text{3) } y = (x + 2)^{-2}; \quad \text{4) } y = (x — 1)^{-3}. }$$

1) Функция

$y = (x — 2)^7$

Анализ функции

• Данная функция представляет собой степенную функцию вида
  $y = x^7$ 

  , но сдвинутую вдоль оси X на 2 единицы вправо.

• Число 7 – нечетное, значит, функция сохраняет свойство исходной степени:
  • Определена на всей числовой прямой
    $x \in \mathbb{R}$ 

    .

  • Значения могут принимать любые числа:
    $y \in \mathbb{R}$ 

    .

  • Функция является возрастающей на всей области определения.
  • Не является ограниченной, поскольку
    $y \to +\infty$ 

    при $x \to +\infty$ 

    и $y \to -\infty$ 

    при $x \to -\infty$ 

    .

Исследование поведения функции

При

$x = 2$

:

$$y = (2 — 2)^7 = 0$$

Точка

$(2, 0)$

– корень функции.

При больших значениях

$x$

:

• • Если
    $x > 2$ 

    , то выражение $(x — 2)$ 

    положительно, а его седьмая степень тоже положительна.

  • Если
    $x \to +\infty$ 

    , то $y \to +\infty$ 

    .

При малых значениях

$x$

:

• • Если
    $x < 2$ 

    , то выражение $(x — 2)$ 

    отрицательно, а его седьмая степень тоже отрицательна.

  • Если
    $x \to -\infty$ 

    , то $y \to -\infty$ 

    .

Вывод

• График пересекает ось X в точке
  $(2, 0)$ 

  .

• Функция возрастает на всей области определения.
• Ограничений по значениям нет.

2) Функция

$y = (x + 1)^5$

Анализ функции

• Данная функция представляет собой степенную функцию
  $y = x^5$ 

  , но сдвинутую на 1 единицу влево.

• Число 5 – нечетное, значит:
  • Функция определена на всей числовой прямой
    $x \in \mathbb{R}$ 

    .

  • Функция принимает любые значения:
    $y \in \mathbb{R}$ 

    .

  • Является возрастающей.
  • Неограниченна, поскольку
    $y \to +\infty$ 

    при $x \to +\infty$ 

    и $y \to -\infty$ 

    при $x \to -\infty$ 

    .

Исследование поведения функции

При

$x = -1$

:

$$y = (-1 + 1)^5 = 0$$

Точка

$(-1, 0)$

– корень функции.

При больших

$x$

:

• • Если
    $x > -1$ 

    , то $(x + 1)$ 

    положительно, значит, его пятая степень тоже положительна.

  • Если
    $x \to +\infty$ 

    , то $y \to +\infty$ 

    .

При малых

$x$

:

• • Если
    $x < -1$ 

    , то $(x + 1)$ 

    отрицательно, а его пятая степень тоже отрицательна.

  • Если
    $x \to -\infty$ 

    , то $y \to -\infty$ 

    .

Вывод

• График проходит через точку
  $(-1, 0)$ 

  .

• Функция возрастает на всей числовой прямой.
• Значения неограниченны.

3) Функция

$y = (x + 2)^{-2}$

Анализ функции

• Эта функция является вариантом степенной функции
  $y = x^{-2}$ 

  , но сдвинутой на 2 единицы влево.

• Степень -2 – четная и отрицательная, значит:
  • Функция определена всюду, кроме точки
    $x = -2$ 

    .

  • Значения всегда положительны:
    $y > 0$ 

    .

  • Функция убывает на
    $(-2; +\infty)$ 

    и возрастает на $(-\infty; -2)$ 

    .

  • Ограничена снизу:
    $y > 0$ 

    .

Исследование поведения функции

При

$x = -2$

:

• • Выражение
    $(x + 2)^{-2}$ 

    не определено.

  • На графике разрыв в точке
    $x = -2$ 

    .

При

$x \to -\infty$

:

• • 
    $(x + 2)$ 

    принимает большие отрицательные значения.

  • При возведении в степень -2 значение стремится к 0.

При

$x \to +\infty$

:

• • 
    $(x + 2)$ 

    становится очень большим.

  • При возведении в степень -2 значение также стремится к 0.

При

$x \to -2$

слева и справа:

• • Значение стремится к +∞.

Вывод

• Функция разрывна в точке
  $x = -2$ 

  .

• Возрастает на
  $(-\infty; -2)$ 

  и убывает на $(-2; +\infty)$ 

  .

• Ограничена снизу:
  $y > 0$ 

  .

4) Функция

$y = (x — 1)^{-3}$

Анализ функции

• Эта функция является вариантом
  $y = x^{-3}$ 

  , но сдвинутой на 1 вправо.

• Степень -3 – нечетная, значит:
  • Функция определена всюду, кроме точки
    $x = 1$ 

    .

  • Значения могут быть положительными и отрицательными:
    $y \neq 0$ 

    .

  • Функция убывает на всей области определения.
  • Не является ограниченной.

Исследование поведения функции

При

$x = 1$

:

• • Выражение
    $(x — 1)^{-3}$ 

    не определено.

  • График имеет разрыв в этой точке.

При

$x \to -\infty$

:

• • 
    $(x — 1)$ 

    сильно отрицательно.

  • Возведение в степень -3 дает значения, стремящиеся к 0.

При

$x \to +\infty$

:

• • 
    $(x — 1)$ 

    становится большим.

  • Значение стремится к 0.

При

$x \to 1^-$

и

$x \to 1^+$

:

• • Значение резко уходит в +∞ или -∞.

Вывод

• Функция убывает на всей области определения.
• Разрыв в точке
  $x = 1$ 

  .

• Значения могут быть как положительными, так и отрицательными.

Ответ

$$\boxed{ \text{1) } y = (x — 2)^7; \quad \text{2) } y = (x + 1)^5; \quad \text{3) } y = (x + 2)^{-2}; \quad \text{4) } y = (x — 1)^{-3}. }$$