ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1268 Алимов — Подробные Ответы

Найти числовые значения всех остальных тригонометрических функций по данному значению одной из них (0 < a < пи/2):

1. cosa=0,8;
2. sina=5/13;
3. tga=2,4;
4. ctga= 7/24.

Найти значения всех тригонометрических функций $(0 < a < \frac{\pi}{2})$:

$\cos a = 0,8$;

$$\sin a = \sqrt{1 — \cos^2 a} = \sqrt{1 — 0,8^2} = \sqrt{1 — 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6;$$ $$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4};$$ $$\ctg a = \frac{1}{\tg a} = \frac{4}{3};$$

$\sin a = \frac{5}{13}$;

$$\cos a = \sqrt{1 — \sin^2 a} = \sqrt{1 — \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{\frac{169}{169} — \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13};$$ $$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12};$$ $$\ctg a = \frac{1}{\tg a} = \frac{12}{5};$$

$\tg a = 2,4$;

$$\cos a = \frac{1}{\sqrt{1 + \tg^2 a}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2,4^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 5,76}} = \frac{1}{\sqrt{6,76}} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13};$$ $$\sin a = \tg a \cdot \cos a = 2,4 \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13};$$ $$\ctg a = \frac{1}{\tg a} = \frac{1}{2,4} = \frac{5}{12};$$

$\ctg a = \frac{7}{24}$;

$$\sin a = \frac{1}{\sqrt{1 + \ctg^2 a}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{7}{24}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{576}{576} + \frac{49}{576}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{625}{576}}} = \frac{24}{25};$$ $$\cos a = \sqrt{1 — \sin^2 a} = \sqrt{1 — \left(\frac{24}{25}\right)^2} = \sqrt{\frac{625}{625} — \frac{576}{625}} = \sqrt{\frac{49}{625}} = \frac{7}{25};$$ $$\tg a = \frac{1}{\ctg a} = \frac{24}{7};$$

1) Дано: $\cos a = 0,8$

Найдем все тригонометрические функции для угла $a$, если известно, что $\cos a = 0,8$.

Шаг 1: Нахождение $\sin a$

Мы знаем тождество Пифагора для тригонометрических функций:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1.$$

Подставим известное значение $\cos a = 0,8$:

$$\sin^2 a = 1 — \cos^2 a = 1 — 0,8^2 = 1 — 0,64 = 0,36.$$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон:

$$\sin a = \sqrt{0,36} = 0,6.$$

Шаг 2: Нахождение $\tg a$

Тангенс угла $a$ определяется как отношение синуса к косинусу:

$$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.$$

Шаг 3: Нахождение $\ctg a$

Котангенс угла $a$ — это обратная величина тангенса:

$$\ctg a = \frac{1}{\tg a} = \frac{4}{3}.$$

Ответ для 1):

$$\sin a = 0,6, \quad \tg a = \frac{3}{4}, \quad \ctg a = \frac{4}{3}.$$

2) Дано: $\sin a = \frac{5}{13}$

Найдем все тригонометрические функции для угла $a$, если известно, что $\sin a = \frac{5}{13}$.

Шаг 1: Нахождение $\cos a$

Используем тождество Пифагора:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1.$$

Подставим значение $\sin a = \frac{5}{13}$:

$$\left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{25}{169} + \cos^2 a = 1.$$

Решим относительно $\cos^2 a$:

$$\cos^2 a = 1 — \frac{25}{169} = \frac{169}{169} — \frac{25}{169} = \frac{144}{169}.$$

Теперь извлечем квадратный корень:

$$\cos a = \frac{12}{13}.$$

Шаг 2: Нахождение $\tg a$

Тангенс угла $a$ вычисляется как отношение синуса к косинусу:

$$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}.$$

Шаг 3: Нахождение $\ctg a$

Котангенс угла $a$ — это обратная величина тангенса:

$$\ctg a = \frac{1}{\tg a} = \frac{12}{5}.$$

Ответ для 2):

$$\cos a = \frac{12}{13}, \quad \tg a = \frac{5}{12}, \quad \ctg a = \frac{12}{5}.$$

3) Дано: $\tg a = 2,4$

Найдем все тригонометрические функции для угла $a$, если известно, что $\tg a = 2,4$.

Шаг 1: Нахождение $\cos a$

Используем формулу для тангенса:

$$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a}.$$

Также знаем тождество для тангенса:

$$\cos a = \frac{1}{\sqrt{1 + \tg^2 a}}.$$

Подставляем $\tg a = 2,4$:

$$\cos a = \frac{1}{\sqrt{1 + (2,4)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 5,76}} = \frac{1}{\sqrt{6,76}} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}.$$

Шаг 2: Нахождение $\sin a$

Теперь, зная $\cos a = \frac{5}{13}$, можем вычислить $\sin a$, используя $\tg a$:

$$\sin a = \tg a \cdot \cos a = 2,4 \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}.$$

Шаг 3: Нахождение $\ctg a$

Котангенс угла $a$ — это обратная величина тангенса:

$$\ctg a = \frac{1}{\tg a} = \frac{1}{2,4} = \frac{5}{12}.$$

Ответ для 3):

$$\sin a = \frac{12}{13}, \quad \cos a = \frac{5}{13}, \quad \ctg a = \frac{5}{12}.$$

4) Дано: $\ctg a = \frac{7}{24}$

Найдем все тригонометрические функции для угла $a$, если известно, что $\ctg a = \frac{7}{24}$.

Шаг 1: Нахождение $\sin a$

Используем формулу для котангенса:

$$\ctg a = \frac{\cos a}{\sin a}.$$

Также знаем тождество для котангенса:

$$\sin a = \frac{1}{\sqrt{1 + \ctg^2 a}}.$$

Подставляем $\ctg a = \frac{7}{24}$:

$$\sin a = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{7}{24}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{49}{576}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{625}{576}}} = \frac{24}{25}.$$

Шаг 2: Нахождение $\cos a$

Теперь, зная $\sin a = \frac{24}{25}$, можем найти $\cos a$, используя тождество Пифагора:

$$\cos^2 a = 1 — \sin^2 a = 1 — \left(\frac{24}{25}\right)^2 = 1 — \frac{576}{625} = \frac{49}{625}.$$

Таким образом:

$$\cos a = \frac{7}{25}.$$

Шаг 3: Нахождение $\tg a$

Тангенс угла $a$ — это обратная величина котангенса:

$$\tg a = \frac{1}{\ctg a} = \frac{24}{7}.$$

Ответ для 4):

$$\sin a = \frac{24}{25}, \quad \cos a = \frac{7}{25}, \quad \tg a = \frac{24}{7}.$$