ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1265 Алимов — Подробные Ответы

1. Вычислить диаметр х круга, вписанного в равносторонний треугольник (рис. 186), если а = 6 см.
2. Вычислить угол а заготовки, изображённой на рисунке 187, если а — 4 см.

1) Вычислить диаметр $x$ круга, вписанного в равносторонний треугольник (рисунок 186), если $a = 6$ см:

а) Полупериметр треугольника:

$$p = \frac{1}{2}(a + a + a) = \frac{1}{2}(6 + 6 + 6) = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9 \text{ (см)};$$

б) Площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3} \text{ (см}^2\text{)};$$

в) Также площадь треугольника равна:

$$S = p \cdot r, \text{ отсюда } r = \frac{S}{p} = \frac{9\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3} \text{ (см)};$$

г) Диаметр искомого круга:

$$d = 2r = 2\sqrt{3} \text{ (см)};$$

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

2) Вычислить угол $\alpha$ заготовки (рисунок 187), если $a = 4$ см:

а) Треугольник в наконечнике заготовки является равнобедренным, а отрезок длины $a$ является его высотой, значит:

$$\tg \frac{\alpha}{2} = \frac{4,5/2}{a} = \frac{2,25}{4} = 0,5625;$$

б) Найдем величину искомого угла:

$$\alpha = 2 \cdot \arctg \frac{a}{2} = 2 \cdot \arctg 0,5625 \approx 2 \cdot 29,36^\circ \approx 58,72^\circ;$$

Ответ: $2 \arctg 0,5625 \approx 58,72^\circ$.

1) Вычислить диаметр $x$ круга, вписанного в равносторонний треугольник (рисунок 186), если $a = 6$ см:

Шаг 1: Полупериметр треугольника

Полупериметр $p$ треугольника — это половина суммы его сторон. Для равностороннего треугольника все стороны равны $a$, следовательно:

$$p = \frac{1}{2}(a + a + a) = \frac{1}{2}(3a) = \frac{3a}{2}.$$

Подставляем значение $a = 6$:

$$p = \frac{3 \times 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см}.$$

Таким образом, полупериметр треугольника равен $p = 9$ см.

Шаг 2: Площадь треугольника

Для вычисления площади равностороннего треугольника используем формулу для площади через основание и высоту:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h,$$

где $a$ — длина стороны, а $h$ — высота треугольника. Высота для равностороннего треугольника рассчитывается по формуле:

$$h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}.$$

Теперь вычислим площадь:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}.$$

Подставляем $a = 6$:

$$S = \frac{6^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2.$$

Таким образом, площадь треугольника $S = 9\sqrt{3}$ см².

Шаг 3: Радиус вписанного круга

Площадь треугольника также выражается через его полупериметр $p$ и радиус вписанного круга $r$ по формуле:

$$S = p \cdot r,$$

где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанного круга. Подставляем все известные значения:

$$9\sqrt{3} = 9 \cdot r.$$

Решаем относительно $r$:

$$r = \frac{9\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3} \text{ см}.$$

Таким образом, радиус вписанного круга $r = \sqrt{3}$ см.

Шаг 4: Диаметр искомого круга

Диаметр $d$ круга равен удвоенному радиусу:

$$d = 2r = 2\sqrt{3} \text{ см}.$$

Ответ: Диаметр вписанного круга равен $2\sqrt{3}$ см.

2) Вычислить угол $\alpha$ заготовки (рисунок 187), если $a = 4$ см:

Шаг 1: Треугольник в наконечнике заготовки

У нас есть равнобедренный треугольник, в котором отрезок длиной $a = 4$ см является высотой. Это означает, что в треугольнике высота делит основание пополам. И нам нужно найти угол $\alpha$ заготовки.

Шаг 2: Вычисление тангенса угла

Зная, что треугольник является равнобедренным, мы можем использовать тангенс угла для нахождения величины $\alpha$. Нам нужно вычислить угол $\alpha$, используя половину основания треугольника.

Тангенс угла $\frac{\alpha}{2}$ (половина угла) для равнобедренного треугольника можно найти, используя отношение противоположного катета (высоту $\frac{a}{2}$) к прилежащему катету (половине основания $a$):

$$\tg \frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{4,5}{2}}{a} = \frac{2,25}{4} = 0,5625.$$

Шаг 3: Нахождение угла

Теперь, зная значение тангенса половины угла, можем найти сам угол $\alpha$, используя арктангенс:

$$\frac{\alpha}{2} = \arctg(0,5625).$$

Используем калькулятор, чтобы найти:

$$\frac{\alpha}{2} \approx 29,36^\circ.$$

Тогда угол $\alpha$:

$$\alpha = 2 \cdot 29,36^\circ \approx 58,72^\circ.$$

Ответ: $\alpha \approx 58,72^\circ$.

Итог:

1. Диаметр вписанного круга в равносторонний треугольник с длиной стороны $a = 6$ см равен $2\sqrt{3}$ см.
2. Угол $\alpha$ заготовки, если $a = 4$ см, равен примерно $58,72^\circ$.