ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1264 Алимов — Подробные Ответы

Пусть 0 < а < b. Доказать, что на числовой оси:

1. точка (а+b)/2 — середина отрезка [а; b];
2. точка (а + bс)/(1+c), где с > 0, лежит внутри отрезка [а; b].

Пусть $0 < a < b$, доказать, что на числовой оси:

1) Точка $\frac{a+b}{2}$ — середина отрезка $[a; b]$:

Найдем длину отрезка $\left[a; \frac{a+b}{2}\right]$:

$$l_1 = \left| \frac{a+b}{2} — a \right| = \left| \frac{a+b-2a}{2} \right| = \left| \frac{b-a}{2} \right|;$$

Найдем длину отрезка $\left[\frac{a+b}{2}; b\right]$:

$$l_2 = \left| b — \frac{a+b}{2} \right| = \left| \frac{2b — a — b}{2} \right| = \left| \frac{b-a}{2} \right|;$$

Таким образом, точка $\frac{a+b}{2}$ делит отрезок $[a; b]$ на два отрезка, имеющих равную длину, следовательно она является его серединой, что и требовалось доказать.

2) Точка $\frac{a+bc}{1+c}$, где $c > 0$, лежит внутри отрезка $[a; b]$:

Сравним числа $\frac{a+bc}{1+c}$ и $a$:

$$\frac{a+bc}{1+c} — a = \frac{a+bc — a(1+c)}{1+c} = \frac{a+bc-a-ac}{1+c} = \frac{c(b-a)}{1+c} > 0;$$

Сравним числа $\frac{a+bc}{1+c}$ и $b$:

$$b — \frac{a+bc}{1+c} = \frac{b(1+c) — (a+bc)}{1+c} = \frac{b+bc-a-bc}{1+c} = \frac{b-a}{1+c} > 0;$$

Таким образом, число $\frac{a+bc}{1+c}$ больше числа $a$ и меньше числа $b$, следовательно оно лежит внутри отрезка $[a; b]$, что и требовалось доказать.

1) Точка $\frac{a+b}{2}$ — середина отрезка $[a; b]$

Задача: Нужно доказать, что точка $\frac{a+b}{2}$ является серединой отрезка $[a; b]$, то есть точка делит отрезок на два равных отрезка.

Доказательство:

Определение длины отрезков:
Рассмотрим отрезок $[a; b]$, который имеет длину, равную разнице $b — a$.
Поставим задачу: доказать, что точка $\frac{a+b}{2}$ делит этот отрезок на два равных.

Длина отрезка $\left[a; \frac{a+b}{2}\right]$:

Давайте вычислим длину отрезка между $a$ и точкой $\frac{a+b}{2}$. Для этого нужно найти расстояние между $a$ и $\frac{a+b}{2}$:

$$l_1 = \left| \frac{a+b}{2} — a \right|.$$

Упростим это выражение:

$$l_1 = \left| \frac{a+b}{2} — a \right| = \left| \frac{a+b-2a}{2} \right| = \left| \frac{b-a}{2} \right|.$$

Таким образом, длина отрезка $\left[a; \frac{a+b}{2}\right]$ равна $\frac{b-a}{2}$.

Длина отрезка $\left[\frac{a+b}{2}; b\right]$:

Теперь вычислим длину отрезка между точкой $\frac{a+b}{2}$ и точкой $b$:

$$l_2 = \left| b — \frac{a+b}{2} \right|.$$

Упростим это выражение:

$$l_2 = \left| b — \frac{a+b}{2} \right| = \left| \frac{2b — a — b}{2} \right| = \left| \frac{b-a}{2} \right|.$$

Таким образом, длина отрезка $\left[\frac{a+b}{2}; b\right]$ равна $\frac{b-a}{2}$.

Равенство длин:

Мы видим, что длина отрезка $\left[a; \frac{a+b}{2}\right]$ равна длине отрезка $\left[\frac{a+b}{2}; b\right]$, и они равны $\frac{b-a}{2}$.

Вывод:

Поскольку точка $\frac{a+b}{2}$ делит отрезок $[a; b]$ на два отрезка, имеющих равную длину, то она является серединой отрезка $[a; b]$.

Ответ: Точка $\frac{a+b}{2}$ является серединой отрезка $[a; b]$.

2) Точка $\frac{a+bc}{1+c}$, где $c > 0$, лежит внутри отрезка $[a; b]$

Задача: Нужно доказать, что точка $\frac{a+bc}{1+c}$, где $c > 0$, лежит внутри отрезка $[a; b]$, то есть она больше $a$ и меньше $b$.

Доказательство:

Сравнение с $a$:

Нам нужно показать, что точка $\frac{a+bc}{1+c}$ больше числа $a$. Для этого вычтем $a$ из числа $\frac{a+bc}{1+c}$:

$$\frac{a+bc}{1+c} — a = \frac{a+bc — a(1+c)}{1+c} = \frac{a + bc — a — ac}{1+c} = \frac{c(b-a)}{1+c}.$$

Поскольку $c > 0$ и $b > a$, то $b-a > 0$. Следовательно, $c(b-a) > 0$, и так как $1+c > 0$, то:

$$\frac{c(b-a)}{1+c} > 0.$$

Таким образом, $\frac{a+bc}{1+c} > a$.

Сравнение с $b$:

Теперь покажем, что точка $\frac{a+bc}{1+c}$ меньше числа $b$. Для этого вычтем $\frac{a+bc}{1+c}$ из $b$:

$$b — \frac{a+bc}{1+c} = \frac{b(1+c) — (a+bc)}{1+c} = \frac{b + bc — a — bc}{1+c} = \frac{b — a}{1+c}.$$

Поскольку $b > a$ и $1+c > 0$, то:

$$\frac{b-a}{1+c} > 0.$$

Таким образом, $\frac{a+bc}{1+c} < b$.

Вывод:

Поскольку $\frac{a+bc}{1+c} > a$ и $\frac{a+bc}{1+c} < b$, то точка $\frac{a+bc}{1+c}$ лежит внутри отрезка $[a; b]$.

Ответ: Точка $\frac{a+bc}{1+c}$, где $c > 0$, лежит внутри отрезка $[a; b]$.

Итог:

1. Точка $\frac{a+b}{2}$ является серединой отрезка $[a; b]$, так как она делит отрезок на два равных отрезка.
2. Точка $\frac{a+bc}{1+c}$ лежит внутри отрезка $[a; b]$, так как она больше $a$ и меньше $b$.