ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1262 Алимов — Подробные Ответы

Пусть а — рациональное число, b — иррациональное число, а =/ 0, b =/ 0. Доказать, что а + b, а * b, b/a — иррациональные числа.

Пусть $a$ — рациональное число и $b$ — иррациональное число, при этом $a \neq 0$ и $b \neq 0$;

1) Пусть $(a + b) = c$, где $c$ — рациональное число;

$$(a + b) — a = c — a, \text{ отсюда } b = c — a;$$

Тогда число $b$ рациональное как разность двух рациональных чисел, что противоречит условию задачи, значит $(a + b)$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.

2) Пусть $(a \cdot b) = c$, где $c$ — рациональное число;

$$\frac{a \cdot b}{a} = \frac{c}{a}, \text{ отсюда } b = \frac{c}{a};$$

Тогда число $b$ рациональное как частное двух рациональных чисел, что противоречит условию задачи, значит $(a \cdot b)$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.

3) Пусть $\frac{a}{b} = c$, где $c$ — рациональное число;

$$\frac{a}{a \cdot b} = \frac{c}{a} \implies \frac{1}{b} = \frac{c}{a}, \text{ отсюда } b = \frac{a}{c};$$

Тогда число $b$ рациональное как частное двух рациональных чисел, что противоречит условию задачи, значит $(a : b)$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.

4) Пусть $\frac{b}{a} = c$, где $c$ — рациональное число;

$$\frac{b}{a} = c, \text{ отсюда } b = a \cdot c;$$

Тогда число $b$ рациональное как произведение двух рациональных чисел, что противоречит условию задачи, значит $\left( \frac{b}{a} \right)$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.

1) Доказательство, что сумма рационального числа и иррационального числа иррациональна

Утверждение: Пусть $a$ — рациональное число, $b$ — иррациональное число, и $(a + b) = c$, где $c$ — рациональное число. Тогда $(a + b)$ — иррациональное число.

Доказательство:

• Начнем с того, что $a$ — рациональное, $b$ — иррациональное, и $a + b = c$, где $c$ — рациональное число.
• Из уравнения $a + b = c$ можем выразить $b$:

$$b = c — a.$$

• Заметим, что $c$ — рациональное число (по условию задачи), а $a$ также рационально (по условию). Следовательно, разность двух рациональных чисел $c — a$ обязательно будет рациональной.
• Однако, по условию задачи $b$ — иррациональное число. Получаем противоречие: $b$ не может быть как рациональным числом, так и иррациональным одновременно.

Таким образом, если сумма $a + b$ рациональна, то $b$ не может быть иррациональным. Следовательно, если $b$ — иррациональное число, то $a + b$ не может быть рациональным, а значит, оно обязательно иррационально.

Ответ: доказано, что сумма рационального и иррационального числа будет иррациональной.

2) Доказательство, что произведение рационального числа и иррационального числа иррационально

Утверждение: Пусть $a$ — рациональное число, $b$ — иррациональное число, и $(a \cdot b) = c$, где $c$ — рациональное число. Тогда произведение $(a \cdot b)$ — иррационально.

Доказательство:

• Начнем с того, что $a$ — рациональное число, $b$ — иррациональное число, и $a \cdot b = c$, где $c$ — рациональное число.
• Разделим обе части уравнения на $a$ (так как $a \neq 0$):

$$b = \frac{c}{a}.$$

• Поскольку $c$ и $a$ — рациональные числа, их частное $\frac{c}{a}$ будет рациональным числом, согласно свойствам рациональных чисел.
• Однако $b$ по условию задачи — иррациональное число. Таким образом, $b$ не может быть рациональным числом, поскольку мы выразили его как частное двух рациональных чисел, что противоречит его иррациональности.

Ответ: доказано, что произведение рационального числа и иррационального числа будет иррациональным.

3) Доказательство, что частное от деления рационального числа на иррациональное число иррационально

Утверждение: Пусть $a$ — рациональное число, $b$ — иррациональное число, и $\frac{a}{b} = c$, где $c$ — рациональное число. Тогда $\frac{a}{b}$ — иррациональное число.

Доказательство:

• Начнем с того, что $a$ — рациональное число, $b$ — иррациональное число, и $\frac{a}{b} = c$, где $c$ — рациональное число.
• Перепишем это уравнение так:

$$\frac{a}{b} = c \implies \frac{1}{b} = \frac{c}{a}.$$

• Теперь выразим $b$ через $a$ и $c$:

$$b = \frac{a}{c}.$$

• Поскольку $a$ и $c$ — рациональные числа, их частное $\frac{a}{c}$ будет рациональным числом.
• Однако $b$ по условию задачи — иррациональное число. Это приводит к противоречию: $b$ не может быть одновременно и иррациональным, и выраженным как частное двух рациональных чисел.

Ответ: доказано, что частное от деления рационального числа на иррациональное число будет иррациональным.

4) Доказательство, что частное от деления иррационального числа на рациональное число иррационально

Утверждение: Пусть $a$ — рациональное число, $b$ — иррациональное число, и $\frac{b}{a} = c$, где $c$ — рациональное число. Тогда $\frac{b}{a}$ — иррациональное число.

Доказательство:

• Начнем с того, что $b$ — иррациональное число, $a$ — рациональное число, и $\frac{b}{a} = c$, где $c$ — рациональное число.
• Из уравнения $\frac{b}{a} = c$ выразим $b$:

$$b = a \cdot c.$$

• Поскольку $a$ и $c$ — рациональные числа, их произведение $a \cdot c$ обязательно будет рациональным числом.
• Однако $b$ по условию задачи — иррациональное число. Это приводит к противоречию: $b$ не может быть одновременно и иррациональным, и выраженным как произведение двух рациональных чисел.

Ответ: доказано, что частное от деления иррационального числа на рациональное число будет иррациональным.

Итог:

Мы доказали, что:

1. Сумма рационального и иррационального числа — иррациональна.
2. Произведение рационального и иррационального числа — иррационально.
3. Частное от деления рационального числа на иррациональное — иррационально.
4. Частное от деления иррационального числа на рациональное — иррационально.