Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.
Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.
Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.
Преимущества учебника
- Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения. - Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач. - Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам. - Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры. - Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.
Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.
ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1262 Алимов — Подробные Ответы
Пусть а — рациональное число, b — иррациональное число, а =/ 0, b =/ 0. Доказать, что а + b, а * b, b/a — иррациональные числа.
Пусть — рациональное число и — иррациональное число, при этом и ;
1) Пусть , где — рациональное число;
Тогда число рациональное как разность двух рациональных чисел, что противоречит условию задачи, значит — иррациональное число, что и требовалось доказать.
2) Пусть , где — рациональное число;
Тогда число рациональное как частное двух рациональных чисел, что противоречит условию задачи, значит — иррациональное число, что и требовалось доказать.
3) Пусть , где — рациональное число;
Тогда число рациональное как частное двух рациональных чисел, что противоречит условию задачи, значит — иррациональное число, что и требовалось доказать.
4) Пусть , где — рациональное число;
Тогда число рациональное как произведение двух рациональных чисел, что противоречит условию задачи, значит — иррациональное число, что и требовалось доказать.
1) Доказательство, что сумма рационального числа и иррационального числа иррациональна
Утверждение: Пусть — рациональное число, — иррациональное число, и , где — рациональное число. Тогда — иррациональное число.
Доказательство:
- Начнем с того, что — рациональное, — иррациональное, и , где — рациональное число.
- Из уравнения можем выразить :
- Заметим, что — рациональное число (по условию задачи), а также рационально (по условию). Следовательно, разность двух рациональных чисел обязательно будет рациональной.
- Однако, по условию задачи — иррациональное число. Получаем противоречие: не может быть как рациональным числом, так и иррациональным одновременно.
Таким образом, если сумма рациональна, то не может быть иррациональным. Следовательно, если — иррациональное число, то не может быть рациональным, а значит, оно обязательно иррационально.
Ответ: доказано, что сумма рационального и иррационального числа будет иррациональной.
2) Доказательство, что произведение рационального числа и иррационального числа иррационально
Утверждение: Пусть — рациональное число, — иррациональное число, и , где — рациональное число. Тогда произведение — иррационально.
Доказательство:
- Начнем с того, что — рациональное число, — иррациональное число, и , где — рациональное число.
- Разделим обе части уравнения на (так как ):
- Поскольку и — рациональные числа, их частное будет рациональным числом, согласно свойствам рациональных чисел.
- Однако по условию задачи — иррациональное число. Таким образом, не может быть рациональным числом, поскольку мы выразили его как частное двух рациональных чисел, что противоречит его иррациональности.
Ответ: доказано, что произведение рационального числа и иррационального числа будет иррациональным.
3) Доказательство, что частное от деления рационального числа на иррациональное число иррационально
Утверждение: Пусть — рациональное число, — иррациональное число, и , где — рациональное число. Тогда — иррациональное число.
Доказательство:
- Начнем с того, что — рациональное число, — иррациональное число, и , где — рациональное число.
- Перепишем это уравнение так:
- Теперь выразим через и :
- Поскольку и — рациональные числа, их частное будет рациональным числом.
- Однако по условию задачи — иррациональное число. Это приводит к противоречию: не может быть одновременно и иррациональным, и выраженным как частное двух рациональных чисел.
Ответ: доказано, что частное от деления рационального числа на иррациональное число будет иррациональным.
4) Доказательство, что частное от деления иррационального числа на рациональное число иррационально
Утверждение: Пусть — рациональное число, — иррациональное число, и , где — рациональное число. Тогда — иррациональное число.
Доказательство:
- Начнем с того, что — иррациональное число, — рациональное число, и , где — рациональное число.
- Из уравнения выразим :
- Поскольку и — рациональные числа, их произведение обязательно будет рациональным числом.
- Однако по условию задачи — иррациональное число. Это приводит к противоречию: не может быть одновременно и иррациональным, и выраженным как произведение двух рациональных чисел.
Ответ: доказано, что частное от деления иррационального числа на рациональное число будет иррациональным.
Итог:
Мы доказали, что:
- Сумма рационального и иррационального числа — иррациональна.
- Произведение рационального и иррационального числа — иррационально.
- Частное от деления рационального числа на иррациональное — иррационально.
- Частное от деления иррационального числа на рациональное — иррационально.
Задачи для внеклассной работы