1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части
Алгебра
10-11 класс учебник Алимов
10 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.
Год
2015-2024.
Издательство
Просвещение.
Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

  1. Четкая структура материала
    Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
  2. Пошаговые объяснения
    Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
  3. Разнообразие упражнений
    В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
  4. Практическая направленность
    Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
  5. Подготовка к ЕГЭ
    Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1262 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Пусть а — рациональное число, b — иррациональное число, а =/ 0, b =/ 0. Доказать, что а + b, а * b, b/a — иррациональные числа.

Краткий ответ:

Пусть aa — рациональное число и bb — иррациональное число, при этом a0a \neq 0 и b0b \neq 0;

1) Пусть (a+b)=c(a + b) = c, где cc — рациональное число;

(a+b)a=ca, отсюда b=ca;(a + b) — a = c — a, \text{ отсюда } b = c — a;

Тогда число bb рациональное как разность двух рациональных чисел, что противоречит условию задачи, значит (a+b)(a + b) — иррациональное число, что и требовалось доказать.

2) Пусть (ab)=c(a \cdot b) = c, где cc — рациональное число;

aba=ca, отсюда b=ca;\frac{a \cdot b}{a} = \frac{c}{a}, \text{ отсюда } b = \frac{c}{a};

Тогда число bb рациональное как частное двух рациональных чисел, что противоречит условию задачи, значит (ab)(a \cdot b) — иррациональное число, что и требовалось доказать.

3) Пусть ab=c\frac{a}{b} = c, где cc — рациональное число;

aab=ca    1b=ca, отсюда b=ac;\frac{a}{a \cdot b} = \frac{c}{a} \implies \frac{1}{b} = \frac{c}{a}, \text{ отсюда } b = \frac{a}{c};

Тогда число bb рациональное как частное двух рациональных чисел, что противоречит условию задачи, значит (a:b)(a : b) — иррациональное число, что и требовалось доказать.

4) Пусть ba=c\frac{b}{a} = c, где cc — рациональное число;

ba=c, отсюда b=ac;\frac{b}{a} = c, \text{ отсюда } b = a \cdot c;

Тогда число bb рациональное как произведение двух рациональных чисел, что противоречит условию задачи, значит (ba)\left( \frac{b}{a} \right) — иррациональное число, что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

1) Доказательство, что сумма рационального числа и иррационального числа иррациональна

Утверждение: Пусть aa — рациональное число, bb — иррациональное число, и (a+b)=c(a + b) = c, где cc — рациональное число. Тогда (a+b)(a + b) — иррациональное число.

Доказательство:

  • Начнем с того, что aa — рациональное, bb — иррациональное, и a+b=ca + b = c, где cc — рациональное число.
  • Из уравнения a+b=ca + b = c можем выразить bb:

b=ca.b = c — a.

  • Заметим, что cc — рациональное число (по условию задачи), а aa также рационально (по условию). Следовательно, разность двух рациональных чисел cac — a обязательно будет рациональной.
  • Однако, по условию задачи bb — иррациональное число. Получаем противоречие: bb не может быть как рациональным числом, так и иррациональным одновременно.

Таким образом, если сумма a+ba + b рациональна, то bb не может быть иррациональным. Следовательно, если bb — иррациональное число, то a+ba + b не может быть рациональным, а значит, оно обязательно иррационально.

Ответ: доказано, что сумма рационального и иррационального числа будет иррациональной.

2) Доказательство, что произведение рационального числа и иррационального числа иррационально

Утверждение: Пусть aa — рациональное число, bb — иррациональное число, и (ab)=c(a \cdot b) = c, где cc — рациональное число. Тогда произведение (ab)(a \cdot b) — иррационально.

Доказательство:

  • Начнем с того, что aa — рациональное число, bb — иррациональное число, и ab=ca \cdot b = c, где cc — рациональное число.
  • Разделим обе части уравнения на aa (так как a0a \neq 0):

b=ca.b = \frac{c}{a}.

  • Поскольку cc и aa — рациональные числа, их частное ca\frac{c}{a} будет рациональным числом, согласно свойствам рациональных чисел.
  • Однако bb по условию задачи — иррациональное число. Таким образом, bb не может быть рациональным числом, поскольку мы выразили его как частное двух рациональных чисел, что противоречит его иррациональности.

Ответ: доказано, что произведение рационального числа и иррационального числа будет иррациональным.

3) Доказательство, что частное от деления рационального числа на иррациональное число иррационально

Утверждение: Пусть aa — рациональное число, bb — иррациональное число, и ab=c\frac{a}{b} = c, где cc — рациональное число. Тогда ab\frac{a}{b} — иррациональное число.

Доказательство:

  • Начнем с того, что aa — рациональное число, bb — иррациональное число, и ab=c\frac{a}{b} = c, где cc — рациональное число.
  • Перепишем это уравнение так:

ab=c    1b=ca.\frac{a}{b} = c \implies \frac{1}{b} = \frac{c}{a}.

  • Теперь выразим bb через aa и cc:

b=ac.b = \frac{a}{c}.

  • Поскольку aa и cc — рациональные числа, их частное ac\frac{a}{c} будет рациональным числом.
  • Однако bb по условию задачи — иррациональное число. Это приводит к противоречию: bb не может быть одновременно и иррациональным, и выраженным как частное двух рациональных чисел.

Ответ: доказано, что частное от деления рационального числа на иррациональное число будет иррациональным.

4) Доказательство, что частное от деления иррационального числа на рациональное число иррационально

Утверждение: Пусть aa — рациональное число, bb — иррациональное число, и ba=c\frac{b}{a} = c, где cc — рациональное число. Тогда ba\frac{b}{a} — иррациональное число.

Доказательство:

  • Начнем с того, что bb — иррациональное число, aa — рациональное число, и ba=c\frac{b}{a} = c, где cc — рациональное число.
  • Из уравнения ba=c\frac{b}{a} = c выразим bb:

b=ac.b = a \cdot c.

  • Поскольку aa и cc — рациональные числа, их произведение aca \cdot c обязательно будет рациональным числом.
  • Однако bb по условию задачи — иррациональное число. Это приводит к противоречию: bb не может быть одновременно и иррациональным, и выраженным как произведение двух рациональных чисел.

Ответ: доказано, что частное от деления иррационального числа на рациональное число будет иррациональным.

Итог:

Мы доказали, что:

  1. Сумма рационального и иррационального числа — иррациональна.
  2. Произведение рационального и иррационального числа — иррационально.
  3. Частное от деления рационального числа на иррациональное — иррационально.
  4. Частное от деления иррационального числа на рациональное — иррационально.

Задачи для внеклассной работы
Общая оценка
4.8 / 5
Комментарии
Другие предметы
Алгебра
10-10 класс