ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1261 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что если а и b — натуральные числа и корень ab — рациональное число, то — также рациональное число, а если корень ab — иррациональное число, то и корень (a/b) — иррациональное число.

Доказать, что если $a$ и $b$ — натуральные числа, то:

1) Дробь $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ рациональна, если рационально число $\sqrt{ab}$:

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a \cdot b}{b \cdot b}} = \sqrt{\frac{ab}{b^2}} = \frac{\sqrt{ab}}{b};$$

И в числителе, и в знаменателе дроби рациональные числа, значит $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ — рациональное число, что и требовалось доказать.

2) Дробь $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ иррациональна, если иррационально число $\sqrt{ab}$:

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a \cdot b}{b \cdot b}} = \sqrt{\frac{ab}{b^2}} = \frac{\sqrt{ab}}{b};$$

В числителе дроби находится иррациональное число, а в знаменателе — рациональное, значит $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.

1) Доказательство, что дробь $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ рациональна, если рационально число $\sqrt{ab}$

Утверждение: Если $a$ и $b$ — натуральные числа, и число $\sqrt{ab}$ рационально, то дробь $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ также рациональна.

Доказательство:

Мы начинаем с выражения:

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}.$$

Мы можем записать дробь как:

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a \cdot b}{b \cdot b}} = \sqrt{\frac{ab}{b^2}}.$$

Теперь сделаем следующее преобразование:

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}.$$

Из условия задачи, мы знаем, что $\sqrt{ab}$ рационально, то есть существует некоторое рациональное число $r$, такое что:

$$\sqrt{ab} = r.$$

Таким образом, можем записать:

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{r}{b}.$$

Поскольку $r$ — рациональное число (по предположению), а $b$ — натуральное число (а следовательно рациональное), то дробь $\frac{r}{b}$ также будет рациональной.

Таким образом, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ рациональна, если $\sqrt{ab}$ рационально.

Ответ: доказано, что $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ — рациональное число.

2) Доказательство, что дробь $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ иррациональна, если иррационально число $\sqrt{ab}$

Утверждение: Если $a$ и $b$ — натуральные числа, и число $\sqrt{ab}$ иррационально, то дробь $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ иррациональна.

Доказательство:

Начнем с того, что:

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}.$$

Запишем дробь как:

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a \cdot b}{b \cdot b}} = \sqrt{\frac{ab}{b^2}}.$$

Теперь снова получаем:

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}.$$

Из условия задачи, мы знаем, что $\sqrt{ab}$ иррационально. Пусть $\sqrt{ab} = x$, где $x$ — иррациональное число.

Таким образом, получаем:

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{x}{b}.$$

Мы знаем, что $b$ — натуральное число, следовательно, оно рационально.

Однако иррациональное число делить на рациональное число (отличное от нуля) всегда дает иррациональное число. Таким образом, если $x = \sqrt{ab}$ — иррационально, то дробь $\frac{x}{b}$ также будет иррациональной.

Следовательно, дробь $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ иррациональна, если $\sqrt{ab}$ иррационально.

Ответ: доказано, что $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ — иррациональное число.

Итог:

Если $\sqrt{ab}$ рационально, то дробь $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ рациональна.

Если $\sqrt{ab}$ иррационально, то дробь $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ иррациональна.