ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1260 Алимов — Подробные Ответы

Может ли быть рациональным числом:

1. сумма двух положительных иррациональных чисел;
2. произведение двух иррациональных чисел;
3. частное от деления суммы двух неравных иррациональных положительных чисел на их произведение?

Может ли быть рациональным числом:

1) Сумма двух положительных иррациональных чисел:
Может, например:

$$(2 — \sqrt{2}) + (2 + \sqrt{2}) = 4;$$ $$0,221443 \ldots + 0,223001 \ldots = 0,444444 \ldots = 0,(4);$$

Ответ: да.

2) Произведение двух иррациональных чисел:
Может, например:

$$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$$ $$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4;$$

Ответ: да.

3) Частное от деления суммы двух неравных иррациональных положительных чисел на их произведение:
Может, например:

$$\frac{(2 — \sqrt{2}) + (2 + \sqrt{2})}{(2 — \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{4}{4 — 2} = 2;$$ $$\frac{0,11212122 \ldots + 0,22121211 \ldots}{0,11212122 \ldots \cdot 0,22121211 \ldots} = \frac{0,33333333 \ldots}{0,22222222 \ldots} = \frac{0,(3)}{0,(2)} = \frac{1}{3} : \frac{2}{9} = \frac{3}{2};$$

Ответ: да.

1) Сумма двух положительных иррациональных чисел

Утверждение: может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональной?

Да, сумма двух иррациональных чисел может быть рациональной. Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1:

Возьмем два числа: $2 — \sqrt{2}$ и $2 + \sqrt{2}$. Оба числа иррациональны (так как $\sqrt{2}$ — иррациональное число).

Теперь сложим их:

$$(2 — \sqrt{2}) + (2 + \sqrt{2}) = 2 + 2 — \sqrt{2} + \sqrt{2}$$

Положительные и отрицательные части $\sqrt{2}$ взаимно уничтожаются:

$$4 — 0 = 4$$

Ответ: результат 4 — рациональное число, хотя каждое из слагаемых было иррациональным. Таким образом, сумма двух иррациональных чисел может быть рациональной.

Пример 2:

Рассмотрим следующие два числа: $0,221443\ldots$ и $0,223001\ldots$. Оба числа — иррациональные.

Сложим их:

$$0,221443\ldots + 0,223001\ldots = 0,444444\ldots$$

Здесь результат — периодическая десятичная дробь, которая равна $0,(4)$, что также является рациональным числом.

Ответ: Да, сумма двух иррациональных чисел может быть рациональной.

2) Произведение двух иррациональных чисел

Утверждение: может ли произведение двух иррациональных чисел быть рациональным?

Да, произведение двух иррациональных чисел также может быть рациональным. Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1:

Возьмем иррациональное число $\sqrt{3}$ и умножим его само на себя:

$$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$$

Ответ: $3$ — рациональное число, несмотря на то, что $\sqrt{3}$ иррационально.

Пример 2:

Возьмем $\sqrt{2}$ и $\sqrt{8}$. Поскольку $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$, произведение будет:

$$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$$

Ответ: $4$ — рациональное число.

Таким образом, произведение двух иррациональных чисел может быть рациональным.

3) Частное от деления суммы двух неравных иррациональных положительных чисел на их произведение

Утверждение: может ли частное от деления суммы двух неравных иррациональных положительных чисел на их произведение быть рациональным?

Да, частное может быть рациональным. Рассмотрим следующие примеры:

Пример 1:

Возьмем два числа $2 — \sqrt{2}$ и $2 + \sqrt{2}$. Их сумма уже была рассмотрена в первом примере:

$$(2 — \sqrt{2}) + (2 + \sqrt{2}) = 4$$

Теперь найдем их произведение:

$$(2 — \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})$$

Используем формулу разности квадратов:

$$(2 — \sqrt{2})(2 + \sqrt{2}) = 2^2 — (\sqrt{2})^2 = 4 — 2 = 2$$

Теперь делим сумму на произведение:

$$\frac{4}{2} = 2$$

Ответ: $2$ — рациональное число.

Пример 2:

Возьмем два числа $0,11212122\ldots$ и $0,22121211\ldots$, которые являются иррациональными.

Сначала находим их сумму:

$$0,11212122\ldots + 0,22121211\ldots = 0,33333333\ldots = 0,(3)$$

Теперь находим их произведение:

$$0,11212122\ldots \cdot 0,22121211\ldots = 0,024691358\ldots$$

Теперь делим сумму на произведение:

$$\frac{0,(3)}{0,(2)} = \frac{1}{3} : \frac{2}{9} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$$

Ответ: $\frac{3}{2}$ — рациональное число.

Итог:

1. Сумма двух иррациональных чисел может быть рациональной.
2. Произведение двух иррациональных чисел может быть рациональным.
3. Частное от деления суммы двух неравных иррациональных положительных чисел на их произведение может быть рациональным.