ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 126 Алимов — Подробные Ответы

Найти промежутки, на которых график функции:

Найти промежутки, на которых график функции лежит выше (ниже) графика функции $y = x$;

1) $y = x^8$

График лежит выше:

$$x^8 > x;$$

$$x^8 — x > 0;$$

$$x \cdot (x^7 — 1) > 0;$$

$$x < 0 \text{ и } x > 1;$$

Ответ: выше при $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$ и ниже при $x \in (0; 1)$

2) $y = x^{\frac{1}{3}}$

График лежит выше:

$$x^{\frac{1}{3}} > x;$$

$$x^{\frac{1}{3}} — x > 0;$$

$$x^{\frac{1}{3}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{2}{3}} \right) > 0;$$

$$x^{\frac{1}{3}} \cdot \left( x^{\frac{2}{3}} — 1 \right) < 0;$$

$$\left( x^{\frac{1}{3}} + 1 \right) \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot \left( x^{\frac{1}{3}} — 1 \right) < 0;$$

$$x < -1 \text{ и } 0 \leqslant x < 1;$$

Функция определена при: $x \geq 0$;

Ответ: выше при $x \in (0; 1)$ и ниже при $x \in (1; +\infty)$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \text{1) выше при }x\in (-\mathrm{\infty };0)\cup (1;+\mathrm{\infty }),\text{ ниже при }x\in (0;1);}}$$

$$\boxed{ \text{1) выше при } x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty), \text{ ниже при } x \in (0; 1); \\ \text{2) выше при } x \in (0; 1), \text{ ниже при } x \in (1; +\infty). }$$

Задача: найти промежутки, на которых график функции лежит выше (ниже) графика функции $y = x$.

1) $y = x^8$

Шаг 1. Записываем неравенство

Нам нужно определить, где выполняется:

$$x^8 > x$$

Перепишем в виде разности:

$$x^8 — x > 0$$

Шаг 2. Разложение на множители

Вынесем $x$ за скобки:

$$x (x^7 — 1) > 0$$

Представим $x^7 — 1$ как разность степеней:

$$x^7 — 1 = (x — 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$$

Подставляем в выражение:

$$x (x — 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) > 0$$

Шаг 3. Анализ знаков множителей

$x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ — ноль функции.

$x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 > 0$ при любом $x$, поскольку сумма положительных степеней всегда положительна.

$x (x — 1) > 0$ выполняется, если:

• $x > 1$ (оба множителя положительны);
• $x < 0$ (оба множителя отрицательны, но произведение положительно).

Шаг 4. Записываем ответ

График лежит выше при $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$, ниже при $x \in (0; 1)$

2) $y = x^{\frac{1}{3}}$

Шаг 1. Записываем неравенство

Определяем, где выполняется:

$$x^{\frac{1}{3}} > x$$

Перепишем в виде разности:

$$x^{\frac{1}{3}} — x > 0$$

Шаг 2. Вынесение множителя

Перепишем разность:

$$x^{\frac{1}{3}} (1 — x^{\frac{2}{3}}) > 0$$

Шаг 3. Разбираем множители

Рассмотрим знаки множителей:

• $x^{\frac{1}{3}}$ имеет тот же знак, что и $x$
• $1 — x^{\frac{2}{3}} > 0$ при $x^{\frac{2}{3}} < 1$, то есть $-1 < x < 1$

Таким образом, произведение будет положительным, если:

$x > 0$ и  $x < 1$ (оба множителя положительны).

Шаг 4. Учитываем область определения

Функция $y = x^{\frac{1}{3}}$ определена для всех $x$, но в задаче учитывается только $x \geq 0$

Шаг 5. Записываем ответ

График лежит выше при $x \in (0; 1)$, ниже при $x \in (1; +\infty)$

Окончательный ответ

$$\boxed{{\displaystyle \text{1) выше при }x\in (-\mathrm{\infty };0)\cup (1;+\mathrm{\infty }),\text{ ниже при }x\in (0;1);}}$$

$$\boxed{ \text{1) выше при } x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty), \text{ ниже при } x \in (0; 1); \\ \text{2) выше при } x \in (0; 1), \text{ ниже при } x \in (1; +\infty). }$$