ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 126 Алимов — Подробные Ответы

Найти промежутки, на которых график функции лежит выше (ниже) графика функции

$y = x$

;

1)

$y = x^8$

График лежит выше:

$$x^8 > x;$$

$$x^8 — x > 0;$$

$$x \cdot (x^7 — 1) > 0;$$

$$x < 0 \text{ и } x > 1;$$

Ответ: выше при

$x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$

и ниже при

$x \in (0; 1)$

.

2)

$y = x^{\frac{1}{3}}$

График лежит выше:

$$x^{\frac{1}{3}} > x;$$

$$x^{\frac{1}{3}} — x > 0;$$

$$x^{\frac{1}{3}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{2}{3}} \right) > 0;$$

$$x^{\frac{1}{3}} \cdot \left( x^{\frac{2}{3}} — 1 \right) < 0;$$

$$\left( x^{\frac{1}{3}} + 1 \right) \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot \left( x^{\frac{1}{3}} — 1 \right) < 0;$$

$$x < -1 \text{ и } 0 \leqslant x < 1;$$

Функция определена при:

$x \geq 0$

;

Ответ: выше при

$x \in (0; 1)$

и ниже при

$x \in (1; +\infty)$

.

Ответ:

$$\boxed{ \text{1) выше при } x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty), \text{ ниже при } x \in (0; 1); \\ \text{2) выше при } x \in (0; 1), \text{ ниже при } x \in (1; +\infty). }$$

Задача: найти промежутки, на которых график функции лежит выше (ниже) графика функции

$y = x$

.

1)

$y = x^8$

Шаг 1. Записываем неравенство

Нам нужно определить, где выполняется:

$$x^8 > x$$

Перепишем в виде разности:

$$x^8 — x > 0$$

Шаг 2. Разложение на множители

Вынесем

$x$

за скобки:

$$x (x^7 — 1) > 0$$

Представим

$x^7 — 1$

как разность степеней:

$$x^7 — 1 = (x — 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$$

Подставляем в выражение:

$$x (x — 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) > 0$$

Шаг 3. Анализ знаков множителей

$x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

— ноль функции.

$x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 > 0$

при любом

$x$

, поскольку сумма положительных степеней всегда положительна.

$x (x — 1) > 0$

выполняется, если:

• 
  $x > 1$ 

  (оба множителя положительны);

• 
  $x < 0$ 

  (оба множителя отрицательны, но произведение положительно).

Шаг 4. Записываем ответ

График лежит выше при

$x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$

, ниже при

$x \in (0; 1)$

.

2)

$y = x^{\frac{1}{3}}$

Шаг 1. Записываем неравенство

Определяем, где выполняется:

$$x^{\frac{1}{3}} > x$$

Перепишем в виде разности:

$$x^{\frac{1}{3}} — x > 0$$

Шаг 2. Вынесение множителя

Перепишем разность:

$$x^{\frac{1}{3}} (1 — x^{\frac{2}{3}}) > 0$$

Шаг 3. Разбираем множители

Рассмотрим знаки множителей:

• 
  $x^{\frac{1}{3}}$ 

  имеет тот же знак, что и $x$ 

  .

• 
  $1 — x^{\frac{2}{3}} > 0$ 

  при $x^{\frac{2}{3}} < 1$ 

  , то есть $-1 < x < 1$ 

  .

Таким образом, произведение будет положительным, если:

• 
  $x > 0$ 

  и $x < 1$ 

  (оба множителя положительны).

Шаг 4. Учитываем область определения

Функция

$y = x^{\frac{1}{3}}$

определена для всех

$x$

, но в задаче учитывается только

$x \geq 0$

.

Шаг 5. Записываем ответ

График лежит выше при

$x \in (0; 1)$

, ниже при

$x \in (1; +\infty)$

.

Окончательный ответ

$$\boxed{ \text{1) выше при } x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty), \text{ ниже при } x \in (0; 1); \\ \text{2) выше при } x \in (0; 1), \text{ ниже при } x \in (1; +\infty). }$$