ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1254 Алимов — Подробные Ответы

Упростить (1254—1255).

1. $$3\sqrt{\frac{5}{9}}-\frac{1}{2}\sqrt{20}+3\sqrt{180}-4\sqrt{\frac{125}{4}}$$$$3 \sqrt{\frac{5}{9}} — \frac{1}{2} \sqrt{20} + 3 \sqrt{180} — 4 \sqrt{\frac{125}{4}} =$$ $$$$
2. $$\frac{1}{\sqrt{6} — \sqrt{5}} — \frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} — \frac{4}{\sqrt{6} — \sqrt{2}} =$$ $$$$

1)

$$3 \sqrt{\frac{5}{9}} — \frac{1}{2} \sqrt{20} + 3 \sqrt{180} — 4 \sqrt{\frac{125}{4}} =$$ $$= 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} — \frac{1}{2} \sqrt{4 \cdot 5} + 3 \sqrt{36 \cdot 5} — 4 \cdot \frac{\sqrt{25 \cdot 5}}{2} =$$ $$= \sqrt{5} — \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{5} + 3 \cdot 6 \sqrt{5} — 2 \cdot 5 \sqrt{5} =$$ $$= \sqrt{5} — \sqrt{5} + 18 \sqrt{5} — 10 \sqrt{5} = 8 \sqrt{5};$$

Ответ: $8\sqrt{5}$.

2)

$$\frac{1}{\sqrt{6} — \sqrt{5}} — \frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} — \frac{4}{\sqrt{6} — \sqrt{2}} =$$ $$= \frac{1 \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{5})}{(\sqrt{6} — \sqrt{5})(\sqrt{6} + \sqrt{5})} — \frac{3 \cdot (\sqrt{5} — \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} — \sqrt{2})} — \frac{4 \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} — \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} =$$ $$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{6 — 5} — \frac{3(\sqrt{5} — \sqrt{2})}{5 — 2} — \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 — 2} =$$ $$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{1} — \frac{3(\sqrt{5} — \sqrt{2})}{3} — \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} =$$ $$= \sqrt{6} + \sqrt{5} — \sqrt{5} + \sqrt{2} — \sqrt{6} — \sqrt{2} = 0;$$

Ответ: $0$.

1) Выражение:

$$3 \sqrt{\frac{5}{9}} — \frac{1}{2} \sqrt{20} + 3 \sqrt{180} — 4 \sqrt{\frac{125}{4}}$$

Шаг 1: Упростим каждый из членов

1. Первый член: $3 \sqrt{\frac{5}{9}}$

   Используем свойство корня для дробей:

   $$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$$

   Тогда:

   $$3 \sqrt{\frac{5}{9}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}.$$

   Сокращаем 3:

   $$3 \sqrt{\frac{5}{9}} = \sqrt{5}.$$

2. Второй член: $\frac{1}{2} \sqrt{20}$

   Упростим корень:

   $$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2 \sqrt{5}.$$

   Тогда:

   $$\frac{1}{2} \sqrt{20} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{5} = \sqrt{5}.$$

3. Третий член: $3 \sqrt{180}$

   Разложим 180 на множители:

   $$\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6 \sqrt{5}.$$

   Тогда:

   $$3 \sqrt{180} = 3 \cdot 6 \sqrt{5} = 18 \sqrt{5}.$$

4. Четвертый член: $-4 \sqrt{\frac{125}{4}}$

   Используем свойство корня для дробей:

   $$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$$

   Тогда:

   $$\sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 5}}{2} = \frac{5 \sqrt{5}}{2}.$$

   Тогда:

   $$-4 \sqrt{\frac{125}{4}} = -4 \cdot \frac{5 \sqrt{5}}{2} = -2 \cdot 5 \sqrt{5} = -10 \sqrt{5}.$$

Шаг 2: Подставляем упрощенные выражения в исходное

Теперь подставим все упрощенные выражения:

$$\sqrt{5} — \sqrt{5} + 18 \sqrt{5} — 10 \sqrt{5}.$$

Шаг 3: Выполняем сложение

Складываем и вычитаем коэффициенты при $\sqrt{5}$:

$$\sqrt{5} — \sqrt{5} = 0, \quad 18 \sqrt{5} — 10 \sqrt{5} = 8 \sqrt{5}.$$

Таким образом, результат:

$$8 \sqrt{5}.$$

Ответ: $8 \sqrt{5}$.

2) Выражение:

$$\frac{1}{\sqrt{6} — \sqrt{5}} — \frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} — \frac{4}{\sqrt{6} — \sqrt{2}}$$

Шаг 1: Приводим к общим знаменателям (рационализируем знаменатели)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателях, умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения. Начнем с первого слагаемого.

1. Первое слагаемое: $\frac{1}{\sqrt{6} — \sqrt{5}}$

   Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{6} + \sqrt{5}$:

   $$\frac{1}{\sqrt{6} — \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{(\sqrt{6} — \sqrt{5})(\sqrt{6} + \sqrt{5})}.$$

   Используем формулу разности квадратов:

   $$(\sqrt{6} — \sqrt{5})(\sqrt{6} + \sqrt{5}) = 6 — 5 = 1.$$

   Получаем:

   $$\frac{1}{\sqrt{6} — \sqrt{5}} = \sqrt{6} + \sqrt{5}.$$

2. Второе слагаемое: $\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$

   Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{5} — \sqrt{2}$:

   $$\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} — \sqrt{2}}{\sqrt{5} — \sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5} — \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} — \sqrt{2})}.$$

   Используем формулу разности квадратов:

   $$(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} — \sqrt{2}) = 5 — 2 = 3.$$

   Получаем:

   $$\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5} — \sqrt{2})}{3} = \sqrt{5} — \sqrt{2}.$$

3. Третье слагаемое: $\frac{4}{\sqrt{6} — \sqrt{2}}$

   Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{6} + \sqrt{2}$:

   $$\frac{4}{\sqrt{6} — \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} — \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})}.$$

   Используем формулу разности квадратов:

   $$(\sqrt{6} — \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 6 — 2 = 4.$$

   Получаем:

   $$\frac{4}{\sqrt{6} — \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \sqrt{6} + \sqrt{2}.$$

Шаг 2: Подставляем полученные выражения

Теперь подставим все упрощенные выражения в исходное выражение:

$$\sqrt{6} + \sqrt{5} — (\sqrt{5} — \sqrt{2}) — (\sqrt{6} + \sqrt{2}).$$

Шаг 3: Выполняем операции

Раскроем скобки и упростим:

$$\sqrt{6} + \sqrt{5} — \sqrt{5} + \sqrt{2} — \sqrt{6} — \sqrt{2}.$$

Теперь сведем похожие слагаемые:

$$\sqrt{6} — \sqrt{6} = 0, \quad \sqrt{5} — \sqrt{5} = 0, \quad \sqrt{2} — \sqrt{2} = 0.$$

Все члены сокращаются, и результат равен:

$$0.$$

Ответ: $0$.

Итог:

1. $3 \sqrt{\frac{5}{9}} — \frac{1}{2} \sqrt{20} + 3 \sqrt{180} — 4 \sqrt{\frac{125}{4}} = 8 \sqrt{5}$.
2. $\frac{1}{\sqrt{6} — \sqrt{5}} — \frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} — \frac{4}{\sqrt{6} — \sqrt{2}} = 0$.