ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1252 Алимов — Подробные Ответы

Какое из чисел больше:

1. $\sqrt{18}$ или $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$;
2. $\sqrt[3]{18}$ или $\left( \frac{1}{6} \right)^{\log_6 2 — \frac{1}{2} \log_{\sqrt{6}} 5}$

Какое из чисел больше:

1) $\sqrt{18}$ или $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$;

Второе число:

$$4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}} = 2^{2 \log_2 3} \cdot 4^{\log_4 \frac{5}{11}} = 3^2 \cdot \frac{5}{11} = 9 \cdot \frac{5}{11} = \frac{45}{11};$$

Сравним числа:

$$\frac{45}{11} = \sqrt{\frac{2025}{121}} = \sqrt{16 \frac{89}{121}} < \sqrt{18};$$

Ответ: $\sqrt{18}$.

2) $\sqrt[3]{18}$ или $\left( \frac{1}{6} \right)^{\log_6 2 — \frac{1}{2} \log_{\sqrt{6}} 5}$;

Второе число:

$$\left( \frac{1}{6} \right)^{\log_6 2 — \frac{1}{2} \log_{\sqrt{6}} 5} = 6^{-1 \log_6 2} \cdot 6^{-\frac{1}{2} \log_{\sqrt{6}} 5} = 2^{-1} : (\sqrt{6})^{-1 \log_{\sqrt{6}} 5} =$$ $$= 2^{-1} : 5^{-1} = \frac{1}{2} : \frac{1}{5} = \frac{5}{2};$$

Сравним числа:

$$\frac{5}{2} = \sqrt[3]{\frac{125}{8}} = \sqrt[3]{15 \frac{5}{8}} < \sqrt[3]{18};$$

Ответ: $\sqrt[3]{18}$.

1) $\sqrt{18}$ или $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$

Первое число: $\sqrt{18}$

Мы можем упростить выражение $\sqrt{18}$ следующим образом:

$$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}.$$

Значение $\sqrt{2}$ примерно равно 1.414, следовательно:

$$\sqrt{18} \approx 3 \cdot 1.414 = 4.242.$$

Второе число: $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$

Теперь разберемся с выражением $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$.

Мы знаем, что $4 = 2^2$, так что можем переписать основание:

$$4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = 2^{2 \log_2 3}.$$

Используя свойство логарифмов, $2^{\log_2 3} = 3$, следовательно:

$$2^{2 \log_2 3} = 3^2 = 9.$$

Теперь рассмотрим второй логарифм $\log_4 \frac{5}{11}$. Так как $4 = 2^2$, то:

$$\log_4 \frac{5}{11} = \frac{1}{2} \log_2 \frac{5}{11}.$$

Рассчитаем логарифм $\log_2 \frac{5}{11}$. Для этого используем приближенные значения:

$$\log_2 5 \approx 2.322 \quad \text{и} \quad \log_2 11 \approx 3.459.$$

Таким образом:

$$\log_2 \frac{5}{11} = \log_2 5 — \log_2 11 \approx 2.322 — 3.459 = -1.137.$$

Следовательно:

$$\log_4 \frac{5}{11} = \frac{1}{2} \cdot (-1.137) \approx -0.569.$$

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$$4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}} = 9 \cdot 4^{-0.569}.$$

Используя приближенное значение для $4^{-0.569}$ (примерно 0.608), получаем:

$$4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}} \approx 9 \cdot 0.608 = 5.472.$$

Сравнение чисел

Теперь, когда мы вычислили оба числа:

• $\sqrt{18} \approx 4.242$,
• $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}} \approx 5.472$.

Из этого следует, что $5.472 > 4.242$.

Ответ: $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$ больше.

2) $\sqrt[3]{18}$ или $\left( \frac{1}{6} \right)^{\log_6 2 — \frac{1}{2} \log_{\sqrt{6}} 5}$

Первое число: $\sqrt[3]{18}$

Прежде чем продолжить, давайте вычислим $\sqrt[3]{18}$. Мы знаем, что:

$$\sqrt[3]{18} = 18^{\frac{1}{3}} \approx 2.620.$$

Второе число: $\left( \frac{1}{6} \right)^{\log_6 2 — \frac{1}{2} \log_{\sqrt{6}} 5}$

Разберем это выражение пошагово.

Рассмотрим первый логарифм $\log_6 2$. Он может быть преобразован с использованием формулы:

$$\log_6 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 6} = \frac{1}{\log_2 6}.$$

Приближенное значение $\log_2 6 \approx 2.585$, следовательно:

$$\log_6 2 \approx \frac{1}{2.585} \approx 0.387.$$

Теперь вычислим второй логарифм $\frac{1}{2} \log_{\sqrt{6}} 5$. Мы знаем, что:

$$\log_{\sqrt{6}} 5 = \frac{\log_6 5}{\log_6 \sqrt{6}} = \frac{\log_6 5}{\frac{1}{2}} = 2 \log_6 5.$$

Используем приближенное значение $\log_6 5 \approx 0.898$, следовательно:

$$\log_{\sqrt{6}} 5 = 2 \cdot 0.898 = 1.796.$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\frac{1}{2} \log_{\sqrt{6}} 5 = \frac{1}{2} \cdot 1.796 = 0.898.$$

Теперь подставим оба логарифма в исходное выражение:

$$\left( \frac{1}{6} \right)^{\log_6 2 — \frac{1}{2} \log_{\sqrt{6}} 5} = \left( \frac{1}{6} \right)^{0.387 — 0.898} = \left( \frac{1}{6} \right)^{-0.511}.$$

Так как $\left( \frac{1}{6} \right)^{-0.511} = 6^{0.511}$, вычислим это значение:

$$6^{0.511} \approx 3.057.$$

Сравнение чисел

Теперь сравним два числа:

• $\sqrt[3]{18} \approx 2.620$,
• $\left( \frac{1}{6} \right)^{\log_6 2 — \frac{1}{2} \log_{\sqrt{6}} 5} \approx 3.057$.

Из этого следует, что $3.057 > 2.620$.

Ответ: $\left( \frac{1}{6} \right)^{\log_6 2 — \frac{1}{2} \log_{\sqrt{6}} 5}$ больше.

Итог:

1. $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$ больше.
2. $\left( \frac{1}{6} \right)^{\log_6 2 — \frac{1}{2} \log_{\sqrt{6}} 5}$ больше.