ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1250 Алимов — Подробные Ответы

Сравнить числа:

1. 2,5^1/7 и 2,5^0,5;
2. 0,2^2/3 и 0,2^3/4;
3. log 3,1(корень 10) и log 3,1(3);
4. log 0,3(4/5) и log 0,3 (3/4).

$2,5^{\frac{1}{7}}$ и $2,5^{0.5}$;

Найдем отношение чисел:

$$\frac{2,5^{\frac{1}{7}}}{2,5^{0.5}} = \frac{2,5^{\frac{1}{7}}}{2,5^{\frac{1}{2}}} = 2,5^{\frac{1}{7} — \frac{1}{2}} = 2,5^{-\frac{5}{14}} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-\frac{5}{14}} = \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{5}{14}} < 1;$$

Ответ: $2,5^{\frac{1}{7}} < 2,5^{0.5}$.

$0,2^{\frac{2}{3}}$ и $0,2^{\frac{3}{4}}$;

Найдем отношение чисел:

$$\frac{0,2^{\frac{2}{3}}}{0,2^{\frac{3}{4}}} = 0,2^{\frac{2}{3} — \frac{3}{4}} = 0,2^{\frac{8}{12} — \frac{9}{12}} = 0,2^{-\frac{1}{12}} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-\frac{1}{12}} = 5^{\frac{1}{12}} > 1;$$

Ответ: $0,2^{\frac{2}{3}} > 0,2^{\frac{3}{4}}$.

$\log_{3,1} \sqrt{10}$ и $\log_{3,1} 3$;

$\log_{3,1} x$ — возрастающая функция (3,1 > 1):

$$\frac{\sqrt{10}}{3} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{9}} = \sqrt{\frac{10}{9}} > 1;$$

Ответ: $\log_{3,1} \sqrt{10} > \log_{3,1} 3$.

$\log_{0,3} \frac{4}{5}$ и $\log_{0,3} \frac{3}{4}$;

$\log_{0,3} x$ — убывающая функция (0,3 < 1):

$$\frac{4}{5} : \frac{3}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{15} > 1;$$

Ответ: $\log_{0,3} \frac{4}{5} < \log_{0,3} \frac{3}{4}$.

Пример 1: $2,5^{\frac{1}{7}}$ и $2,5^{0.5}$

Нам нужно сравнить $2,5^{\frac{1}{7}}$ и $2,5^{0.5}$.

Шаг 1: Преобразование выражений

Мы видим, что оба числа имеют одинаковое основание — 2,5. Для того чтобы найти отношение этих двух чисел, используем свойство степеней:

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

Таким образом, отношение чисел $2,5^{\frac{1}{7}}$ и $2,5^{0.5}$ можно записать как:

$$\frac{2,5^{\frac{1}{7}}}{2,5^{0.5}} = 2,5^{\frac{1}{7} — 0.5}$$

Шаг 2: Упрощение показателей степеней

Теперь нужно вычесть показатели степеней. Чтобы выполнить операцию $\frac{1}{7} — 0.5$, представим $0.5$ как дробь:

$$0.5 = \frac{1}{2}$$

Теперь мы можем вычесть:

$$\frac{1}{7} — \frac{1}{2} = \frac{2}{14} — \frac{7}{14} = -\frac{5}{14}$$

Таким образом, отношение чисел $2,5^{\frac{1}{7}}$ и $2,5^{0.5}$ будет равно:

$$2,5^{-\frac{5}{14}}$$

Шаг 3: Перевод в другую форму

Мы знаем, что выражение $2,5^{-\frac{5}{14}}$ эквивалентно:

$$2,5^{-\frac{5}{14}} = \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{5}{14}}$$

Так как $\frac{2}{5} < 1$, это выражение меньше единицы. Следовательно:

$$2,5^{-\frac{5}{14}} < 1$$

Шаг 4: Заключение

Мы пришли к выводу, что:

$$2,5^{\frac{1}{7}} < 2,5^{0.5}$$

Пример 2: $0,2^{\frac{2}{3}}$ и $0,2^{\frac{3}{4}}$

Нам нужно сравнить $0,2^{\frac{2}{3}}$ и $0,2^{\frac{3}{4}}$.

Шаг 1: Преобразование выражений

Используем тот же принцип, что и в первом примере, и находим отношение чисел:

$$\frac{0,2^{\frac{2}{3}}}{0,2^{\frac{3}{4}}} = 0,2^{\frac{2}{3} — \frac{3}{4}}$$

Шаг 2: Упрощение показателей степеней

Теперь нам нужно вычесть дроби $\frac{2}{3} — \frac{3}{4}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 4 — это 12. Приводим дроби:

$$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}, \quad \frac{3}{4} = \frac{9}{12}$$

Теперь выполняем вычитание:

$$\frac{8}{12} — \frac{9}{12} = -\frac{1}{12}$$

Таким образом, отношение чисел будет:

$$0,2^{-\frac{1}{12}}$$

Шаг 3: Перевод в другую форму

Выражение $0,2^{-\frac{1}{12}}$ эквивалентно:

$$\left( \frac{1}{5} \right)^{-\frac{1}{12}} = 5^{\frac{1}{12}}$$

Поскольку $5^{\frac{1}{12}} > 1$, это число больше единицы. Следовательно:

$$0,2^{\frac{2}{3}} > 0,2^{\frac{3}{4}}$$

Шаг 4: Заключение

Мы пришли к выводу, что:

$$0,2^{\frac{2}{3}} > 0,2^{\frac{3}{4}}$$

Пример 3: $\log_{3,1} \sqrt{10}$ и $\log_{3,1} 3$

Нам нужно сравнить $\log_{3,1} \sqrt{10}$ и $\log_{3,1} 3$.

Шаг 1: Свойства логарифмов

Логарифм с основанием $3,1$ является возрастающей функцией (так как основание больше 1). Это означает, что если аргумент первого логарифма больше аргумента второго, то и результат первого логарифма будет больше.

Шаг 2: Сравнение аргументов

Посмотрим на аргументы логарифмов:

$$\frac{\sqrt{10}}{3} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{9}} = \sqrt{\frac{10}{9}} > 1$$

Поскольку $\frac{\sqrt{10}}{3} > 1$, это значит, что $\log_{3,1} \sqrt{10} > \log_{3,1} 3$.

Шаг 3: Заключение

Мы пришли к выводу, что:

$$\log_{3,1} \sqrt{10} > \log_{3,1} 3$$

Пример 4: $\log_{0,3} \frac{4}{5}$ и $\log_{0,3} \frac{3}{4}$

Нам нужно сравнить $\log_{0,3} \frac{4}{5}$ и $\log_{0,3} \frac{3}{4}$.

Шаг 1: Свойства логарифмов

Логарифм с основанием $0,3$ является убывающей функцией (так как основание меньше 1). Это означает, что если аргумент первого логарифма меньше аргумента второго, то и результат первого логарифма будет больше.

Шаг 2: Сравнение аргументов

Посмотрим на аргументы логарифмов:

$$\frac{4}{5} : \frac{3}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{15} > 1$$

Поскольку $\frac{16}{15} > 1$, это значит, что $\log_{0,3} \frac{4}{5} < \log_{0,3} \frac{3}{4}$.

Шаг 3: Заключение

Мы пришли к выводу, что:

$$\log_{0,3} \frac{4}{5} < \log_{0,3} \frac{3}{4}$$

Итоги:

1. $2,5^{\frac{1}{7}} < 2,5^{0.5}$
2. $0,2^{\frac{2}{3}} > 0,2^{\frac{3}{4}}$
3. $\log_{3,1} \sqrt{10} > \log_{3,1} 3$
4. $\log_{0,3} \frac{4}{5} < \log_{0,3} \frac{3}{4}$