ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1249 Алимов — Подробные Ответы

1. ${\log }_3\frac{9}{\sqrt[5]{3}}+{\log }_6\sqrt[5]{36}$
2. ${16}^{0.5{\log }_{4}10+1}$

1. $\log_3 \frac{9}{\sqrt[5]{3}} + \log_6 \sqrt[5]{36} = \log_3 \frac{3^2}{3^{\frac{1}{5}}} + \log_6 (6^2)^{\frac{1}{5}} = \log_3 3^{\frac{9}{5}} + \log_6 6^{\frac{2}{5}} = \frac{9}{5} + \frac{2}{5} = \frac{11}{5} = 2.2$;
2. $16^{0.5 \log_4 10 + 1} = 16^{\frac{1}{2} \log_4 10 \cdot 1} \cdot 16^1 = (4^2)^{\frac{1}{2} \log_4 10} \cdot 16 = 4^{\log_4 10} \cdot 16 = 10 \cdot 16 = 160$

Пример 1: $\log_3 \frac{9}{\sqrt[5]{3}} + \log_6 \sqrt[5]{36}$

Наша задача — вычислить выражение: $\log_3 \frac{9}{\sqrt[5]{3}} + \log_6 \sqrt[5]{36}$.

Шаг 1: Разложим числа в удобном виде

Мы можем представить $9$ и $\sqrt[5]{3}$ как степени числа 3:

$$9 = 3^2, \quad \sqrt[5]{3} = 3^{\frac{1}{5}}$$

Таким образом, первое логарифмическое выражение можно переписать как:

$$\log_3 \frac{9}{\sqrt[5]{3}} = \log_3 \frac{3^2}{3^{\frac{1}{5}}}$$

Шаг 2: Применение свойства логарифмов

Теперь применим свойство логарифмов, которое позволяет работать с делением в аргументе:

$$\log_a \frac{b}{c} = \log_a b — \log_a c$$

Получаем:

$$\log_3 \frac{3^2}{3^{\frac{1}{5}}} = \log_3 3^2 — \log_3 3^{\frac{1}{5}}$$

Шаг 3: Упрощение логарифмов

Используем свойство логарифмов: $\log_a a^n = n$. Таким образом:

$$\log_3 3^2 = 2, \quad \log_3 3^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5}$$

Теперь подставляем эти значения:

$$\log_3 \frac{3^2}{3^{\frac{1}{5}}} = 2 — \frac{1}{5} = \frac{10}{5} — \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$$

Шаг 4: Разберемся с логарифмом $\log_6 \sqrt[5]{36}$

Представим $36$ как степень 6:

$$36 = 6^2$$

Тогда $\sqrt[5]{36} = (6^2)^{\frac{1}{5}} = 6^{\frac{2}{5}}$. Таким образом, второй логарифм можно записать как:

$$\log_6 \sqrt[5]{36} = \log_6 6^{\frac{2}{5}}$$

Шаг 5: Применение свойства логарифмов

Используем свойство логарифмов $\log_a a^n = n$:

$$\log_6 6^{\frac{2}{5}} = \frac{2}{5}$$

Шаг 6: Сложение результатов

Теперь мы можем сложить оба полученных логарифма:

$$\frac{9}{5} + \frac{2}{5} = \frac{9 + 2}{5} = \frac{11}{5} = 2.2$$

Ответ для первого примера:

$$\log_3 \frac{9}{\sqrt[5]{3}} + \log_6 \sqrt[5]{36} = 2.2$$

Пример 2: $16^{0.5 \log_4 10 + 1}$

Теперь разберем второй пример: $16^{0.5 \log_4 10 + 1}$.

Шаг 1: Представление 16 как степени 4

Заметим, что $16 = 4^2$, поэтому выражение можно переписать как:

$$16^{0.5 \log_4 10 + 1} = (4^2)^{0.5 \log_4 10 + 1}$$

Шаг 2: Применение свойства степени

Используем свойство степени степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$(4^2)^{0.5 \log_4 10 + 1} = 4^{2(0.5 \log_4 10 + 1)}$$

Шаг 3: Упрощение выражения в показателе степени

Теперь упростим выражение в показателе степени:

$$2(0.5 \log_4 10 + 1) = 2 \cdot 0.5 \log_4 10 + 2 = \log_4 10 + 2$$

Таким образом, наш логарифм становится:

$$4^{\log_4 10 + 2}$$

Шаг 4: Разделение на два множителя

Теперь используем правило $(a^m \cdot a^n = a^{m + n})$, чтобы разделить выражение на два множителя:

$$4^{\log_4 10 + 2} = 4^{\log_4 10} \cdot 4^2$$

Шаг 5: Применение свойства логарифмов

Теперь применим свойство $\log_a a^n = n$. Это дает:

$$4^{\log_4 10} = 10$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$10 \cdot 4^2$$

Шаг 6: Завершающий расчет

Так как $4^2 = 16$, то окончательно:

$$10 \cdot 16 = 160$$

Ответ для второго примера:

$$16^{0.5 \log_4 10 + 1} = 160$$

Итоги:

1. $\log_3 \frac{9}{\sqrt[5]{3}} + \log_6 \sqrt[5]{36} = 2.2$
2. $16^{0.5 \log_4 10 + 1} = 160$