ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 123 Алимов — Подробные Ответы

1. у = — (х — 2)3 — 1;
2. у = (х + 3)4 + 2.

1)

$y = -(x — 2)^3 — 1$

:

• Рассмотрим функцию
  $y = -x^3$ 

  :

  • Область определения:
    $x \in \mathbb{R}$ 

    ;

  • Множество значений:
    $y \in \mathbb{R}$ 

    ;

  • Функция является нечетной;
  • Функция убывает на всей числовой прямой;
  • Функция не ограничена;
• Координаты некоторых точек:
  $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & 8 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$ 
• Построим график функции
  $y = -x^3$ 

  и осуществим его сдвиг:

  • Вдоль оси абсцисс на 2 единицы вправо;
  • Вдоль оси ординат на 1 единицу вниз.

Ответ: убывающая; неограниченная.

2)

$y = (x + 3)^4 + 2$

:

• Рассмотрим функцию
  $y = x^4$ 

  :

  • Область определения:
    $x \in \mathbb{R}$ 

    ;

  • Множество значений:
    $y \geq 0$ 

    ;

  • Функция является четной;
  • Функция убывает на
    $(-\infty; 0)$ 

    и возрастает на $(0; +\infty)$ 

    ;

  • Функция ограничена снизу;
  • Наименьшее значение:
    $y = 0$ 

    при $x = 0$ 

    ;

• Координаты некоторых точек:
  $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 0 & 1 & 16 \\ \hline \end{array}$$ 
• Построим график функции
  $y = x^4$ 

  и осуществим его сдвиг:

  • Вдоль оси абсцисс на 3 единицы влево;
  • Вдоль оси ординат на 2 единицы вверх.

Ответ: убывает на

$(-\infty; -3)$

и возрастает на

$(-3; +\infty)$

; ограничена снизу; наименьшее значение

$y = 2$

при

$x = -3$

.

1)

$y = -(x — 2)^3 — 1$

:

Для того, чтобы проанализировать функцию

$y = -(x — 2)^3 — 1$

, разберём её по частям и рассмотрим её свойства и поведение.

Рассмотрим базовую функцию

$y = -x^3$

:

• • Область определения функции:
    $x \in \mathbb{R}$ 

    , так как кубическая функция определена для всех действительных чисел.

  • Множество значений функции:
    $y \in \mathbb{R}$ 

    , так как $x^3$ 

    может принимать любые значения, а знак минус лишь меняет знак этих значений.

  • Функция
    $y = -x^3$ 

    является нечетной. Это означает, что для всех значений $x$ 

    справедливо равенство $y(-x) = -y(x)$ 

    .

  • Функция
    $y = -x^3$ 

    убывает на всей числовой прямой. Это можно заметить, так как производная функции $y’ = -3x^2$ 

    всегда отрицательна при $x \neq 0$ 

    .

  • Функция
    $y = -x^3$ 

    неограничена. Для $x \to +\infty$ 

    , $y \to -\infty$ 

    , и для $x \to -\infty$ 

    , $y \to +\infty$ 

    .Сдвиг функции

    $y = -x^3$:

    • Вдоль оси абсцисс на 2 единицы вправо: это означает замену
      $x$ 

      на $x — 2$ 

      , то есть функция становится $y = -(x — 2)^3$ 

      .

    • Вдоль оси ординат на 1 единицу вниз: это означает, что ко всей функции прибавляется
      $-1$ 

      , и итоговая функция будет $y = -(x — 2)^3 — 1$ 

      .

Таким образом, данная функция является сдвигом функции

$y = -x^3$

вправо на 2 единицы и вниз на 1 единицу.

Анализ функции

$y = -(x — 2)^3 — 1$

:

• • Функция продолжает быть убывающей, так как её базовая форма
    $y = -x^3$ 

    была убывающей.

  • Функция не ограничена сверху и снизу, поскольку кубическая функция
    $-x^3$ 

    не имеет ограничений по значению $y$ 

    .

Ответ: Функция

$y = -(x — 2)^3 — 1$

является убывающей и неограниченной.

2)

$y = (x + 3)^4 + 2$

:

Теперь рассмотрим функцию

$y = (x + 3)^4 + 2$

.

Рассмотрим базовую функцию

$y = x^4$

:

• • Область определения функции:
    $x \in \mathbb{R}$ 

    , так как функция степени 4 определена для всех действительных чисел.

  • Множество значений функции:
    $y \geq 0$ 

    , так как для всех $x$ 

    выражение $x^4$ 

    всегда неотрицательно.

  • Функция
    $y = x^4$ 

    является четной. Это означает, что для всех значений $x$ 

    справедливо равенство $y(-x) = y(x)$ 

    .

  • Функция
    $y = x^4$ 

    убывает на интервале $(-\infty; 0)$ 

    и возрастает на интервале $(0; +\infty)$ 

    , так как её производная $y’ = 4x^3$ 

    меняет знак в точке $x = 0$ 

    .

  • Функция
    $y = x^4$ 

    ограничена снизу: её наименьшее значение $y = 0$ 

    достигается при $x = 0$ 

    , а для всех других значений $x$ 

    $y \geq 0$ 

    .Сдвиг функции

    $y = x^4$:

    • Вдоль оси абсцисс на 3 единицы влево: это означает замену
      $x$ 

      на $x + 3$ 

      , и функция становится $y = (x + 3)^4$ 

      .

    • Вдоль оси ординат на 2 единицы вверх: это означает, что ко всей функции прибавляется 2, и итоговая функция будет
      $y = (x + 3)^4 + 2$ 

      .

Таким образом, данная функция является сдвигом функции

$y = x^4$

влево на 3 единицы и вверх на 2 единицы.

Анализ функции

$y = (x + 3)^4 + 2$

:

• • Функция будет убывать на интервале
    $(-\infty; -3)$ 

    и возрастать на интервале $(-3; +\infty)$ 

    , так как она аналогична функции $y = x^4$ 

    , но сдвинута влево.

  • Функция ограничена снизу: её наименьшее значение достигается в точке
    $x = -3$ 

    , и равно $y = 2$ 

    .

Ответ: Функция

$y = (x + 3)^4 + 2$

убывает на

$(-\infty; -3)$

и возрастает на

$(-3; +\infty)$

; она ограничена снизу; наименьшее значение

$y = 2$

при

$x = -3$

.

Итоговые ответы:

Функция

$y = -(x — 2)^3 — 1$

является убывающей и неограниченной

Функция

$y = (x + 3)^4 + 2$

убывает на

$(-\infty; -3)$

и возрастает на

$(-3; +\infty)$

; она ограничена снизу и имеет наименьшее значение

$y = 2$

при

$x = -3$