ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1225 Алимов — Подробные Ответы

Среди трёх совокупностей, представленных таблицами распределения, выявить ту совокупность, значения которой имеют меньший разброс данных около своего среднего.

X 1 2 4 5

м 2 1 3 2

У -2 0 1 2 3

м 2 3 2 2 1

Z -5 -4 -2 3

м 1 3 3 1

Среди трех совокупностей, представленных таблицами распределения, выявим ту совокупность, значения которой имеют меньший разброс данных около своего среднего.

Решение

1. Находим средние значения для каждой совокупности:

   Для первой совокупности:

   $$\overline{X}_1 = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2}{2 + 1 + 3 + 2} = \frac{26}{8} = 3,25$$

   Для второй совокупности:

   $$\overline{X}_2 = \frac{-2 \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1}{2 + 3 + 2 + 2 + 1} = \frac{5}{10} = 0,5$$

   Для третьей совокупности:

   $$\overline{X}_3 = \frac{-5 \cdot 1 — 4 \cdot 3 — 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1}{1 + 3 + 3 + 1} = \frac{-20}{8} = -2,5$$

2. Вычисляем дисперсии для каждой совокупности:

   Для первой совокупности:

   $$D_1 = \frac{(1 — 3,25)^2 \cdot 1 + (2 — 3,25)^2 \cdot 1 + (4 — 3,25)^2 \cdot 3 + (5 — 3,25)^2 \cdot 2}{8}$$ $$= \frac{(-2,25)^2 \cdot 1 + (-1,25)^2 \cdot 1 + (0,75)^2 \cdot 3 + (1,75)^2 \cdot 2}{8}$$ $$= \frac{5,0625 + 1,5625 + 1,6875 + 6,125}{8} = \frac{14,4375}{8} = 1,8047$$

   Для второй совокупности:

   $$D_2 = \frac{(-2 — 0,5)^2 \cdot 2 + (0 — 0,5)^2 \cdot 3 + (1 — 0,5)^2 \cdot 2 + (2 — 0,5)^2 \cdot 2 + (3 — 0,5)^2 \cdot 1}{10}$$ $$= \frac{(-2,5)^2 \cdot 2 + (-0,5)^2 \cdot 3 + (0,5)^2 \cdot 2 + (1,5)^2 \cdot 2 + (2,5)^2 \cdot 1}{10}$$ $$= \frac{12,5 + 0,75 + 0,5 + 4,5 + 6,25}{10} = \frac{24,5}{10} = 2,45$$

   Для третьей совокупности:

   $$D_3 = \frac{(-5 + 2,5)^2 \cdot 1 + (-4 + 2,5)^2 \cdot 3 + (-2 + 2,5)^2 \cdot 3 + (3 + 2,5)^2 \cdot 1}{8}$$ $$= \frac{(-2,5)^2 \cdot 1 + (-1,5)^2 \cdot 3 + (0,5)^2 \cdot 3 + (5,5)^2 \cdot 1}{8}$$ $$= \frac{6,25 + 6,75 + 0,75 + 30,25}{8} = \frac{44}{8} = 5,5$$

3. Сравниваем дисперсии:

   $$D_3 > D_2 > D_1$$

4. Заключение:
   Первая совокупность имеет наименьший разброс данных около своего среднего.

Ответ:

$$\boxed{\text{Первая совокупность}}$$

Нам даны три совокупности данных, и необходимо найти ту, у которой значения имеют меньший разброс данных относительно их среднего.

Описание шагов решения:

1. Вычисление средних значений для каждой совокупности.
2. Вычисление дисперсий для каждой совокупности.
3. Сравнение дисперсий и вывод о том, какая совокупность имеет меньший разброс.

1. Вычисление средних значений для каждой совокупности

Среднее значение (или математическое ожидание) для совокупности вычисляется по формуле:

$$\overline{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot f_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$$

где:

• $x_i$ — значение, которое встречается в совокупности,
• $f_i$ — частота появления этого значения.

Теперь давайте вычислим среднее для каждой из совокупностей.

1.1. Среднее для первой совокупности

Первая совокупность данных:

$$\text{Значения: } 1, 2, 4, 5 \text{Частоты: } 2, 1, 3, 2$$

Среднее значение для первой совокупности:

$$\overline{X}_1 = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2}{2 + 1 + 3 + 2}$$ $$\overline{X}_1 = \frac{2 + 2 + 12 + 10}{8} = \frac{26}{8} = 3,25$$

Ответ: Среднее значение для первой совокупности $\overline{X}_1 = 3,25$.

1.2. Среднее для второй совокупности

Вторая совокупность данных:

$$\text{Значения: } -2, 0, 1, 2, 3 \text{Частоты: } 2, 3, 2, 2, 1$$

Среднее значение для второй совокупности:

$$\overline{X}_2 = \frac{-2 \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1}{2 + 3 + 2 + 2 + 1}$$ $$\overline{X}_2 = \frac{-4 + 0 + 2 + 4 + 3}{10} = \frac{5}{10} = 0,5$$

Ответ: Среднее значение для второй совокупности $\overline{X}_2 = 0,5$.

1.3. Среднее для третьей совокупности

Третья совокупность данных:

$$\text{Значения: } -5, -4, -2, 3 \text{Частоты: } 1, 3, 3, 1$$

Среднее значение для третьей совокупности:

$$\overline{X}_3 = \frac{-5 \cdot 1 + (-4) \cdot 3 + (-2) \cdot 3 + 3 \cdot 1}{1 + 3 + 3 + 1}$$ $$\overline{X}_3 = \frac{-5 — 12 — 6 + 3}{8} = \frac{-20}{8} = -2,5$$

Ответ: Среднее значение для третьей совокупности $\overline{X}_3 = -2,5$.

2. Вычисление дисперсий для каждой совокупности

Дисперсия $D$ для совокупности данных вычисляется по формуле:

$$D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i — \overline{X})^2 \cdot f_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$$

где:

• $x_i$ — значение в совокупности,
• $\overline{X}$ — среднее значение совокупности,
• $f_i$ — частота появления значения $x_i$.

2.1. Дисперсия для первой совокупности

Для первой совокупности:

$$\text{Значения: } 1, 2, 4, 5 \text{Частоты: } 2, 1, 3, 2$$

Среднее значение: $\overline{X}_1 = 3,25$

Вычисление дисперсии:

$$D_1 = \frac{(1 — 3,25)^2 \cdot 2 + (2 — 3,25)^2 \cdot 1 + (4 — 3,25)^2 \cdot 3 + (5 — 3,25)^2 \cdot 2}{8}$$ $$= \frac{(-2,25)^2 \cdot 2 + (-1,25)^2 \cdot 1 + (0,75)^2 \cdot 3 + (1,75)^2 \cdot 2}{8}$$ $$= \frac{5,0625 \cdot 2 + 1,5625 \cdot 1 + 0,5625 \cdot 3 + 3,0625 \cdot 2}{8}$$ $$= \frac{10,125 + 1,5625 + 1,6875 + 6,125}{8} = \frac{19,5}{8} = 2,4375$$

Ответ: Дисперсия первой совокупности $D_1 = 2,4375$.

2.2. Дисперсия для второй совокупности

Для второй совокупности:

$$\text{Значения: } -2, 0, 1, 2, 3 \text{Частоты: } 2, 3, 2, 2, 1$$

Среднее значение: $\overline{X}_2 = 0,5$

Вычисление дисперсии:

$$D_2 = \frac{(-2 — 0,5)^2 \cdot 2 + (0 — 0,5)^2 \cdot 3 + (1 — 0,5)^2 \cdot 2 + (2 — 0,5)^2 \cdot 2 + (3 — 0,5)^2 \cdot 1}{10}$$ $$= \frac{(-2,5)^2 \cdot 2 + (-0,5)^2 \cdot 3 + (0,5)^2 \cdot 2 + (1,5)^2 \cdot 2 + (2,5)^2 \cdot 1}{10}$$ $$= \frac{6,25 \cdot 2 + 0,25 \cdot 3 + 0,25 \cdot 2 + 2,25 \cdot 2 + 6,25 \cdot 1}{10}$$ $$= \frac{12,5 + 0,75 + 0,5 + 4,5 + 6,25}{10} = \frac{24,5}{10} = 2,45$$

Ответ: Дисперсия второй совокупности $D_2 = 2,45$.

2.3. Дисперсия для третьей совокупности

Для третьей совокупности:

$$\text{Значения: } -5, -4, -2, 3 \text{Частоты: } 1, 3, 3, 1$$

Среднее значение: $\overline{X}_3 = -2,5$

Вычисление дисперсии:

$$D_3 = \frac{(-5 + 2,5)^2 \cdot 1 + (-4 + 2,5)^2 \cdot 3 + (-2 + 2,5)^2 \cdot 3 + (3 + 2,5)^2 \cdot 1}{8}$$ $$= \frac{(-2,5)^2 \cdot 1 + (-1,5)^2 \cdot 3 + (0,5)^2 \cdot 3 + (5,5)^2 \cdot 1}{8}$$ $$= \frac{6,25 + 6,75 + 0,75 + 30,25}{8} = \frac{44}{8} = 5,5$$

Ответ: Дисперсия третьей совокупности $D_3 = 5,5$.

3. Сравнение дисперсий

Теперь мы сравниваем дисперсии:

$$D_1 = 2,4375, \quad D_2 = 2,45, \quad D_3 = 5,5$$

Мы видим, что $D_1 < D_2 < D_3$.

Совокупность с наименьшим разбросом данных вокруг среднего — это первая совокупность.

Ответ:

$$\boxed{\text{Первая совокупность}}$$