ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1224 Алимов — Подробные Ответы

Были произведены замеры десяти диаметров d оснований цилиндров в партии стальных заготовок. Замеры производились дважды — двумя различными измерительными приборами. Результаты измерений (с точностью до 1 мм) первым прибором представлены в таблице слева, а вторым прибором — в таблице справа.

d1 58 59 60 61 62

М1 1 2 4 2 1

d2 59 60 61 62

М2 2 5 2 1

Сравнить дисперсии значений случайных величин d1 и d2.

Известно, что были произведены замеры 10 диаметров $d$ оснований цилиндров в партии стальных заготовок. Замеры производились дважды двумя различными измерительными приборами. Результаты измерений первым прибором представлены в таблице слева, а вторым прибором — таблице справа. Сравним дисперсии значений случайных величин.

Решение

Шаг 1: Вычисление средних значений

Для первого прибора:

$$\overline{X}_1 = \frac{58 \cdot 1 + 59 \cdot 2 + 60 \cdot 4 + 61 \cdot 2 + 62 \cdot 1}{1 + 2 + 4 + 2 + 1} = \frac{600}{10} = 60$$

Для второго прибора:

$$\overline{X}_2 = \frac{59 \cdot 2 + 60 \cdot 5 + 61 \cdot 2 + 62 \cdot 1}{2 + 5 + 2 + 1} = \frac{602}{10} = 60,2$$

Шаг 2: Вычисление дисперсий

Для первого прибора:

$$D_1 = \frac{(58 — 60)^2 \cdot 1 + (59 — 60)^2 \cdot 2 + (60 — 60)^2 \cdot 4 + (61 — 60)^2 \cdot 2 + (62 — 60)^2 \cdot 1}{10}$$ $$= \frac{(-2)^2 \cdot 1 + (-1)^2 \cdot 2 + 0^2 \cdot 4 + 1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 1}{10}$$ $$= \frac{4 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 4 \cdot 1}{10}$$ $$= \frac{4 + 2 + 0 + 2 + 4}{10} = \frac{12}{10} = 1,2$$

Для второго прибора:

$$D_2 = \frac{(59 — 60,2)^2 \cdot 2 + (60 — 60,2)^2 \cdot 5 + (61 — 60,2)^2 \cdot 2 + (62 — 60,2)^2 \cdot 1}{10}$$ $$= \frac{(-1,2)^2 \cdot 2 + (-0,2)^2 \cdot 5 + (0,8)^2 \cdot 2 + (1,8)^2 \cdot 1}{10}$$ $$= \frac{1,44 \cdot 2 + 0,04 \cdot 5 + 0,64 \cdot 2 + 3,24 \cdot 1}{10}$$ $$= \frac{2,88 + 0,2 + 1,28 + 3,24}{10} = \frac{7,6}{10} = 0,76$$

Шаг 3: Сравнение дисперсий

$$D_1 = 1,2 \quad \text{и} \quad D_2 = 0,76$$ $$D_1 > D_2$$

Значит второй прибор работает стабильнее.

Ответ:

$$\boxed{\text{второй работает стабильнее}}$$

Известно, что были произведены замеры 10 диаметров $d$ оснований цилиндров в партии стальных заготовок. Замеры проводились дважды двумя различными измерительными приборами. Результаты измерений первым прибором представлены в таблице слева, а вторым прибором — таблице справа. Необходимо сравнить дисперсии значений случайных величин, полученных с помощью этих приборов, чтобы оценить стабильность их работы.

Решение

Шаг 1: Вычисление средних значений измерений

Для оценки стабильности работы приборов нам нужно сначала найти средние значения измерений, которые называются математическим ожиданием случайной величины. Формула для вычисления среднего значения выглядит следующим образом:

$$\overline{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot f_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$$

где:

• $x_i$ — значение измеренной величины (диаметр в нашем случае),
• $f_i$ — частота, с которой каждое значение появляется (в данном случае количество измерений для каждого значения).

Теперь рассмотрим, как вычислить среднее значение для каждого прибора.

Среднее значение для первого прибора

Данные для первого прибора:

$$\text{Измерения: } 58, 59, 60, 61, 62$$ $$\text{Частоты: } 1, 2, 4, 2, 1$$

Среднее значение для первого прибора вычисляется по следующей формуле:

$$\overline{X}_1 = \frac{58 \cdot 1 + 59 \cdot 2 + 60 \cdot 4 + 61 \cdot 2 + 62 \cdot 1}{1 + 2 + 4 + 2 + 1} = \frac{600}{10} = 60$$

Таким образом, среднее значение измерений первым прибором составляет $\overline{X}_1 = 60$.

Среднее значение для второго прибора

Данные для второго прибора:

$$\text{Измерения: } 59, 60, 61, 62$$ $$\text{Частоты: } 2, 5, 2, 1$$

Среднее значение для второго прибора вычисляется аналогично:

$$\overline{X}_2 = \frac{59 \cdot 2 + 60 \cdot 5 + 61 \cdot 2 + 62 \cdot 1}{2 + 5 + 2 + 1} = \frac{602}{10} = 60,2$$

Таким образом, среднее значение измерений вторым прибором составляет $\overline{X}_2 = 60,2$.

Шаг 2: Вычисление дисперсий

Дисперсия — это мера рассеяния данных вокруг среднего значения. Чем меньше дисперсия, тем стабильнее измерения.

Формула для вычисления дисперсии для дискретной случайной величины:

$$D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i — \overline{X})^2 \cdot f_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$$

где:

• $x_i$ — значение измеренной величины,
• $\overline{X}$ — среднее значение,
• $f_i$ — частота для каждого значения.

Дисперсия для первого прибора

Используем значения, которые мы нашли в первом шаге. Для первого прибора $\overline{X}_1 = 60$. Подставим данные в формулу для дисперсии:

$$D_1 = \frac{(58 — 60)^2 \cdot 1 + (59 — 60)^2 \cdot 2 + (60 — 60)^2 \cdot 4 + (61 — 60)^2 \cdot 2 + (62 — 60)^2 \cdot 1}{10}$$

Теперь вычислим каждое из выражений в сумме:

$$(58 — 60)^2 = (-2)^2 = 4$$ $$(59 — 60)^2 = (-1)^2 = 1$$ $$(60 — 60)^2 = (0)^2 = 0$$ $$(61 — 60)^2 = (1)^2 = 1$$ $$(62 — 60)^2 = (2)^2 = 4$$

Теперь умножим эти значения на частоты:

$$4 \cdot 1 = 4, \quad 1 \cdot 2 = 2, \quad 0 \cdot 4 = 0, \quad 1 \cdot 2 = 2, \quad 4 \cdot 1 = 4$$

Сложим все эти произведения:

$$4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12$$

Теперь вычислим дисперсию:

$$D_1 = \frac{12}{10} = 1,2$$

Таким образом, дисперсия для первого прибора равна $D_1 = 1,2$.

Дисперсия для второго прибора

Используем значение $\overline{X}_2 = 60,2$ для второго прибора и подставим в формулу для дисперсии:

$$D_2 = \frac{(59 — 60,2)^2 \cdot 2 + (60 — 60,2)^2 \cdot 5 + (61 — 60,2)^2 \cdot 2 + (62 — 60,2)^2 \cdot 1}{10}$$

Теперь вычислим каждое из выражений в сумме:

$$(59 — 60,2)^2 = (-1,2)^2 = 1,44$$ $$(60 — 60,2)^2 = (-0,2)^2 = 0,04$$ $$(61 — 60,2)^2 = (0,8)^2 = 0,64$$ $$(62 — 60,2)^2 = (1,8)^2 = 3,24$$

Теперь умножим эти значения на частоты:

$$1,44 \cdot 2 = 2,88, \quad 0,04 \cdot 5 = 0,2, \quad 0,64 \cdot 2 = 1,28, \quad 3,24 \cdot 1 = 3,24$$

Сложим все эти произведения:

$$2,88 + 0,2 + 1,28 + 3,24 = 7,6$$

Теперь вычислим дисперсию:

$$D_2 = \frac{7,6}{10} = 0,76$$

Таким образом, дисперсия для второго прибора равна $D_2 = 0,76$.

Шаг 3: Сравнение дисперсий

Теперь, когда мы нашли дисперсии для обоих приборов, можно их сравнить:

$$D_1 = 1,2 \quad \text{и} \quad D_2 = 0,76$$

Поскольку $D_1 > D_2$, это означает, что первый прибор имеет большую дисперсию, то есть его измерения менее стабильны, чем у второго прибора.

Ответ:

Таким образом, второй прибор работает стабильнее.

$$\boxed{\text{второй работает стабильнее}}$$