ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1223 Алимов — Подробные Ответы

Сравнить стабильность производительности труда двух рабочих, первый из которых работал 5 дней, а второй — б дней, при этом они имели одинаковую среднюю производительность:

1)

Порядковый номер дня недели 1 2 3 4 5 6

Производительность труда I рабочего (дет. / день) 8 11 9 12 10 —

Производительность труда II рабочего (дет. / день) 8 12 11 8 12 9

2)

Порядковый номер дня недели 1 2 3 4 5 6

Производительность труда I рабочего (дет. / день) 9 — 11 10 11 9

Производительность труда II рабочего (дет. / день) 9 10 11 11 10 9

1) Сравним стабильность производительности труда 2 рабочих, первый из которых работал 5 дней, а второй 6 дней, при этом они имели одинаковую среднюю производительность.

Решение

$$\overline{X}_{1} = \overline{X}_{2} = \frac{8 + 11 + 9 + 12 + 10}{5} = 10$$

Воспользуемся определением и получим:

$$D_{1} = \frac{(8 — 10)^{2} + (11 — 10)^{2} + (9 — 10)^{2} + (12 — 10)^{2} + (10 — 10)^{2}}{5} =$$ $$= \frac{4 + 1 + 1 + 4 + 0}{5} = 2$$ $$D_{2} = \frac{(8 — 10)^{2} + (12 — 10)^{2} + (11 — 10)^{2} + (8 — 10)^{2} + (12 — 10)^{2} + (9 — 10)^{2}}{6} =$$ $$= \frac{4 + 4 + 1 + 4 + 4 + 1}{6} = 3$$ $$D_{1} < D_{2}$$

Значит первый работает стабильнее.

Ответ: первый работает стабильнее.

2) Сравним стабильность производительности труда 2 рабочих, первый из которых работал 5 дней, а второй 6 дней, при этом они имели одинаковую среднюю производительность.

Решение

$$\overline{X}_{1} = \overline{X}_{2} = \frac{9 + 11 + 10 + 11 + 9}{5} = 10$$

Воспользуемся определением и получим:

$$D_{1} = \frac{(9 — 10)^{2} + (11 — 10)^{2} + (10 — 10)^{2} + (11 — 10)^{2} + (9 — 10)^{2}}{5} =$$ $$= \frac{1 + 1 + 0 + 1 + 1}{5} = 0.8$$ $$D_{2} = \frac{(9 — 10)^{2} + (10 — 10)^{2} + (11 — 10)^{2} + (11 — 10)^{2} + (10 — 10)^{2} + (9 — 10)^{2}}{6} =$$ $$= \frac{1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1}{6} = \frac{4}{6} \approx 0.67$$ $$D_{1} > D_{2}$$

Значит второй работает стабильнее.

Ответ: второй работает стабильнее.

Задача 1

Сравним стабильность производительности труда двух рабочих. Первый рабочий работал 5 дней, а второй — 6 дней. При этом они имели одинаковую среднюю производительность.

Даны следующие данные:

Первая выборка (для первого рабочего): $8, 11, 9, 12, 10$ (производительность за 5 дней)

Вторая выборка (для второго рабочего): $8, 12, 11, 8, 12, 9$ (производительность за 6 дней)

Нам нужно вычислить дисперсии для обеих выборок и сравнить их, чтобы определить, какой рабочий работает стабильнее. Чем меньше дисперсия, тем стабильнее работа.

Шаг 1: Нахождение среднего значения (математического ожидания)

Для каждой выборки мы начнем с нахождения среднего значения. Среднее значение (математическое ожидание) для дискретных данных рассчитывается по формуле:

$$\overline{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

где $x_i$ — это отдельные значения выборки, а $n$ — количество элементов в выборке.

Для первой выборки (первый рабочий):

$$\overline{X}_{1} = \frac{8 + 11 + 9 + 12 + 10}{5} = \frac{50}{5} = 10$$

Для второй выборки (второй рабочий):

$$\overline{X}_{2} = \frac{8 + 12 + 11 + 8 + 12 + 9}{6} = \frac{60}{6} = 10$$

Ответ: Среднее значение производительности для обеих выборок равно $10$.

Шаг 2: Нахождение дисперсии для первой выборки

Теперь найдем дисперсию для первой выборки. Дисперсия ($D$) для выборки рассчитывается по формуле:

$$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i — \overline{X})^2$$

где $x_i$ — это отдельные значения, $\overline{X}$ — среднее значение, а $n$ — количество элементов в выборке.

Подставляем данные для первой выборки:

$$D_1 = \frac{1}{5} \left[ (8 — 10)^2 + (11 — 10)^2 + (9 — 10)^2 + (12 — 10)^2 + (10 — 10)^2 \right]$$

Вычислим каждое из выражений внутри суммы:

$$(8 — 10)^2 = (-2)^2 = 4$$ $$(11 — 10)^2 = (1)^2 = 1$$ $$(9 — 10)^2 = (-1)^2 = 1$$ $$(12 — 10)^2 = (2)^2 = 4$$ $$(10 — 10)^2 = (0)^2 = 0$$

Теперь складываем все эти значения:

$$4 + 1 + 1 + 4 + 0 = 10$$

Теперь находим дисперсию:

$$D_1 = \frac{10}{5} = 2$$

Ответ: Дисперсия первой выборки $D_1 = 2$.

Шаг 3: Нахождение дисперсии для второй выборки

Теперь вычислим дисперсию для второй выборки, используя ту же формулу.

Подставляем данные для второй выборки:

$$D_2 = \frac{1}{6} \left[ (8 — 10)^2 + (12 — 10)^2 + (11 — 10)^2 + (8 — 10)^2 + (12 — 10)^2 + (9 — 10)^2 \right]$$

Вычислим каждое из выражений внутри суммы:

$$(8 — 10)^2 = (-2)^2 = 4$$ $$(12 — 10)^2 = (2)^2 = 4$$ $$(11 — 10)^2 = (1)^2 = 1$$ $$(8 — 10)^2 = (-2)^2 = 4$$ $$(12 — 10)^2 = (2)^2 = 4$$ $$(9 — 10)^2 = (-1)^2 = 1$$

Теперь складываем все эти значения:

$$4 + 4 + 1 + 4 + 4 + 1 = 18$$

Теперь находим дисперсию:

$$D_2 = \frac{18}{6} = 3$$

Ответ: Дисперсия второй выборки $D_2 = 3$.

Шаг 4: Сравнение дисперсий

Теперь сравним дисперсии:

• Для первого рабочего: $D_1 = 2$
• Для второго рабочего: $D_2 = 3$

Поскольку $D_1 < D_2$, это означает, что первый рабочий имеет меньшую дисперсию, а значит, его производительность более стабильна.

Ответ: Первый рабочий работает стабильнее.

Задача 2

Сравним стабильность производительности труда двух рабочих. Первый из которых работал 5 дней, а второй 6 дней, при этом они имели одинаковую среднюю производительность.

Даны следующие данные:

Первая выборка (для первого рабочего): $9, 11, 10, 11, 9$ (производительность за 5 дней)

Вторая выборка (для второго рабочего): $9, 10, 11, 11, 10, 9$ (производительность за 6 дней)

Нам нужно вычислить дисперсии для обеих выборок и сравнить их, чтобы определить, какой рабочий работает стабильнее.

Шаг 1: Нахождение среднего значения (математического ожидания)

Для каждой выборки мы начнем с нахождения среднего значения. Среднее значение (математическое ожидание) для дискретных данных рассчитывается по формуле:

$$\overline{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Для первой выборки (первый рабочий):

$$\overline{X}_1 = \frac{9 + 11 + 10 + 11 + 9}{5} = \frac{50}{5} = 10$$

Для второй выборки (второй рабочий):

$$\overline{X}_2 = \frac{9 + 10 + 11 + 11 + 10 + 9}{6} = \frac{60}{6} = 10$$

Ответ: Среднее значение производительности для обеих выборок равно $10$.

Шаг 2: Нахождение дисперсии для первой выборки

Теперь найдем дисперсию для первой выборки. Дисперсия ($D$) для выборки рассчитывается по формуле:

$$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i — \overline{X})^2$$

Подставляем данные для первой выборки:

$$D_1 = \frac{1}{5} \left[ (9 — 10)^2 + (11 — 10)^2 + (10 — 10)^2 + (11 — 10)^2 + (9 — 10)^2 \right]$$

Вычислим каждое из выражений внутри суммы:

$$(9 — 10)^2 = (-1)^2 = 1$$ $$(11 — 10)^2 = (1)^2 = 1$$ $$(10 — 10)^2 = (0)^2 = 0$$ $$(11 — 10)^2 = (1)^2 = 1$$ $$(9 — 10)^2 = (-1)^2 = 1$$

Теперь складываем все эти значения:

$$1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4$$

Теперь находим дисперсию:

$$D_1 = \frac{4}{5} = 0.8$$

Ответ: Дисперсия первой выборки $D_1 = 0.8$.

Шаг 3: Нахождение дисперсии для второй выборки

Теперь вычислим дисперсию для второй выборки:

$$D_2 = \frac{1}{6} \left[ (9 — 10)^2 + (10 — 10)^2 + (11 — 10)^2 + (11 — 10)^2 + (10 — 10)^2 + (9 — 10)^2 \right]$$

Вычислим каждое из выражений внутри суммы:

$$(9 — 10)^2 = (-1)^2 = 1$$ $$(10 — 10)^2 = (0)^2 = 0$$ $$(11 — 10)^2 = (1)^2 = 1$$ $$(11 — 10)^2 = (1)^2 = 1$$ $$(10 — 10)^2 = (0)^2 = 0$$ $$(9 — 10)^2 = (-1)^2 = 1$$

Теперь складываем все эти значения:

$$1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 = 4$$

Теперь находим дисперсию:

$$D_2 = \frac{4}{6} \approx 0.67$$

Ответ: Дисперсия второй выборки $D_2 \approx 0.67$.

Шаг 4: Сравнение дисперсий

Теперь сравним дисперсии:

• Для первого рабочего: $D_1 = 0.8$
• Для второго рабочего: $D_2 \approx 0.67$

Поскольку $D_1 > D_2$, это означает, что второй рабочий имеет меньшую дисперсию, а значит, его производительность более стабильна.

Ответ: Второй рабочий работает стабильнее.

Итоговые ответы:

1. Первый рабочий работает стабильнее.
2. Второй рабочий работает стабильнее.