ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1219 Алимов — Подробные Ответы

Найти размах, моду, медиану и среднее выборки значений случайной величины X, распределение которых по частотам М задано таблицей:

1)

X -1 0 1 3 5 6

м 2 3 4 1 1 1

2)

X -2 -1 0 2 3 4

м 1 2 4 4 1 1

1) Найдём размах, моду, медиану и среднее выборки значений случайной величины $x$, распределение которых по частотам $M$ задано таблицей.

Решение

Воспользуемся определениями и получим:

$$R = 6 — (-1) = 7$$ $$Mo = 1$$

Чтобы получить медиану, упорядочим выборку:

$$-1, -1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 6$$

Медианой будет среднее значение двух центральных элементов:

$$Me = \frac{1 + 1}{2} = 1$$

Теперь находим среднее:

$$\bar{X} = \frac{-1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 1}{2 + 3 + 4 + 1 + 1 + 1} = \frac{4}{3} \approx 1,32$$

Ответ: $R = 7$; $Mo = 1$; $Me = 1$; $\bar{X} \approx 1,32$

2) Найдём размах, моду, медиану и среднее выборки значений случайной величины $x$, распределение которых по частотам $M$ задано таблицей.

Решение

Воспользуемся определениями и получим:

$$R = 4 — (-2) = 6$$ $$Mo_1 = 0$$ $$Mo_2 = 2$$

Чтобы получить медиану, упорядочим выборку:

$$-2, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 3, 4$$

Медианой будет центральный элемент:

$$Me = 0$$

Теперь находим среднее:

$$\bar{X} = \frac{-2 \cdot 1 — 1 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1}{1 + 2 + 4 + 4 + 1 + 1} = \frac{11}{13} \approx 0,85$$

Ответ: $R = 6$; $Mo_1 = 0$; $Mo_2 = 2$; $Me = 0$; $\bar{X} \approx 0,85$

Задача 1:

Найдем размах, моду, медиану и среднее выборки значений случайной величины $x$, распределение которых по частотам $M$ задано таблицей.

Решение:

Для данной задачи давайте представим выборку данных как таблицу частот. В первой задаче:

Шаг 1: Размах выборки ($R$)

Размах ($R$) — это разница между максимальным и минимальным значением выборки.

Формула для размаха:

$$R = X_{\text{max}} — X_{\text{min}}$$

где:

• $X_{\text{max}}$ — максимальное значение выборки,
• $X_{\text{min}}$ — минимальное значение выборки.

В данной выборке:

• $X_{\text{max}} = 6$ (максимальное значение),
• $X_{\text{min}} = -1$ (минимальное значение).

Теперь вычислим размах:

$$R = 6 — (-1) = 6 + 1 = 7$$

Ответ: $R = 7$

Шаг 2: Мода выборки ($Mo$)

Мода ($Mo$) — это значение, которое встречается в выборке наибольшее количество раз.

Посмотрим на частоты элементов:

• Число $-1$ встречается 2 раза.
• Число 0 встречается 3 раза.
• Число 1 встречается 4 раза.
• Число 3 встречается 1 раз.
• Число 5 встречается 1 раз.
• Число 6 встречается 1 раз.

Из этого видно, что мода — это значение, которое встречается чаще всего, а именно 1.

Ответ: $Mo = 1$

Шаг 3: Медиана выборки ($Me$)

Медиана ($Me$) — это центральное значение выборки, когда все элементы расположены по порядку. Если количество элементов нечетное, то медианой является средний элемент. Если количество элементов четное, то медианой является среднее значение двух центральных элементов.

Чтобы найти медиану, упорядочим все элементы выборки:

$$-1, -1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 6$$

Теперь, так как у нас 12 элементов (четное количество), медианой будет среднее двух центральных элементов, то есть среднего между 6-м и 7-м элементами:

$$Me = \frac{1 + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Ответ: $Me = 1$

Шаг 4: Среднее выборки ($\bar{X}$)

Среднее ($\bar{X}$) — это среднее арифметическое всех элементов выборки, которое вычисляется по формуле:

$$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$$

где:

• $n$ — количество элементов в выборке,
• $X_i$ — элементы выборки.

Для данной выборки у нас есть таблица частот. Чтобы вычислить среднее, нужно умножить каждый элемент на его частоту и сложить все эти произведения, а затем разделить на общее количество элементов.

Рассчитаем сумму произведений элементов на их частоты:

$$(-1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) + (1 \cdot 4) + (3 \cdot 1) + (5 \cdot 1) + (6 \cdot 1) = -2 + 0 + 4 + 3 + 5 + 6 = 16$$

Общее количество элементов:

$$n = 2 + 3 + 4 + 1 + 1 + 1 = 12$$

Теперь вычислим среднее:

$$\bar{X} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \approx 1,33$$

Ответ: $\bar{X} \approx 1,32$

Итоговые ответы для первой задачи:

• $R = 7$
• $Mo = 1$
• $Me = 1$
• $\bar{X} \approx 1,32$

Задача 2:

Найдем размах, моду, медиану и среднее выборки значений случайной величины $x$, распределение которых по частотам $M$ задано таблицей.

Решение:

Для второй задачи давайте представим выборку данных как таблицу частот.

Шаг 1: Размах выборки ($R$)

Как и в предыдущей задаче, размах — это разница между максимальным и минимальным значением выборки.

Для данной выборки:

• $X_{\text{max}} = 4$
• $X_{\text{min}} = -2$

Теперь вычислим размах:

$$R = 4 — (-2) = 4 + 2 = 6$$

Ответ: $R = 6$

Шаг 2: Мода выборки ($Mo$)

Посмотрим на частоты элементов:

• Число $-2$ встречается 1 раз.
• Число $-1$ встречается 2 раза.
• Число $0$ встречается 4 раза.
• Число $2$ встречается 4 раза.
• Число $3$ встречается 1 раз.
• Число $4$ встречается 1 раз.

Мы видим, что числа $0$ и $2$ встречаются одинаковое количество раз (по 4 раза). Значит, у нас две моды:

$$Mo_1 = 0, \quad Mo_2 = 2$$

Ответ: $Mo_1 = 0$; $Mo_2 = 2$

Шаг 3: Медиана выборки ($Me$)

Для медианы снова упорядочим выборку:

$$-2, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 3, 4$$

Поскольку у нас 12 элементов (четное количество), медианой будет среднее двух центральных элементов, то есть среднего между 6-м и 7-м элементами:

$$Me = \frac{0 + 0}{2} = 0$$

Ответ: $Me = 0$

Шаг 4: Среднее выборки ($\bar{X}$)

Рассчитаем сумму произведений элементов на их частоты:

$$(-2 \cdot 1) + (-1 \cdot 2) + (0 \cdot 4) + (2 \cdot 4) + (3 \cdot 1) + (4 \cdot 1) = -2 — 2 + 0 + 8 + 3 + 4 = 11$$

Общее количество элементов:

$$n = 1 + 2 + 4 + 4 + 1 + 1 = 13$$

Теперь вычислим среднее:

$$\bar{X} = \frac{11}{13} \approx 0,85$$

Ответ: $\bar{X} \approx 0,85$

Итоговые ответы для второй задачи:

• $R = 6$
• $Mo_1 = 0$, $Mo_2 = 2$
• $Me = 0$
• $\bar{X} \approx 0,85$