ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1218 Алимов — Подробные Ответы

Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение выборки:

1. 3, 8, 5, 6;
2. 4, 7, 3, 9;
3. 4, 1, 3, 2, 2;
4. 3, 2, 1, 1, 5;
5. 2, -1, 3, -2, 5;
6. -2, 4, -3, -1, 6.

1) Найдём дисперсию и среднее квадратичное отклонение выборки:
3, 8, 5, 6.

Решение

$$\bar{X}=\frac{3+8+5+6}{4}=\frac{22}{4}=5,5$$

Воспользуемся определением и получим:

$$D=\frac{(3-5,5{)}^2+(8-5,5{)}^2+(5-5,5{)}^2+(6-5,5{)}^2}{4}=\frac{13}{4}=3,25$$$$\sigma =\sqrt{D}=\sqrt{3,25}\approx 1,8$$

Ответ: $D=3,25$; $\sigma \approx 1,8$

2) Найдём дисперсию и среднее квадратичное отклонение выборки:
4, 7, 3, 9.

Решение

$$\bar{X}=\frac{4+7+3+9}{4}=\frac{23}{4}=5,75$$

Воспользуемся определением и получим:

$$D=\frac{(4-5,75{)}^2+(7-5,75{)}^2+(3-5,75{)}^2+(9-5,75{)}^2}{4}=\frac{22,75}{4}=5,6875$$$$\sigma =\sqrt{D}=\sqrt{5,6875}\approx 2,38$$

Ответ: $D=5,6875$; $\sigma \approx 2,38$

3) Найдём дисперсию и среднее квадратичное отклонение выборки:
4, 1, 3, 2, 2.

Решение

$$\bar{X}=\frac{4+1+3+2+2}{5}=\frac{12}{5}=2,4$$

Воспользуемся определением и получим:

$$D=\frac{(4-2,4{)}^2+(1-2,4{)}^2+(3-2,4{)}^2+(2-2,4{)}^2+(2-2,4{)}^2}{5}=\frac{5,2}{5}=1,04$$$$\sigma =\sqrt{D}=\sqrt{1,04}\approx 1,02$$

Ответ: $D=1,04$; $\sigma \approx 1,02$

4) Найдём дисперсию и среднее квадратичное отклонение выборки:
3, 2, 1, 1, 5.

Решение

$$\bar{X}=\frac{3+2+1+1+5}{5}=\frac{12}{5}=2,4$$

Воспользуемся определением и получим:

$$D=\frac{(3-2,4{)}^2+(2-2,4{)}^2+(1-2,4{)}^2+(1-2,4{)}^2+(5-2,4{)}^2}{5}=\frac{11,2}{5}=2,24$$$$\sigma =\sqrt{D}=\sqrt{2,24}\approx 1,5$$

Ответ: $D=2,24$; $\sigma \approx 1,5$

5) Найдём дисперсию и среднее квадратичное отклонение выборки:
2, -1, 3, -2, 5.

Решение

$$\bar{X}=\frac{2-1+3-2+5}{5}=\frac{7}{5}=1,4$$

Воспользуемся определением и получим:

$$D=\frac{(2-1,4{)}^2+(-1-1,4{)}^2+(3-1,4{)}^2+(-2-1,4{)}^2+(5-1,4{)}^2}{5}=$$$$=\frac{33,2}{5}=6,64$$$$\sigma =\sqrt{D}=\sqrt{6,64}\approx 2,58$$

Ответ: $D=6,64$; $\sigma \approx 2,58$

6) Найдём дисперсию и среднее квадратичное отклонение выборки:
-2, 4, -3, -1, 6.

Решение

$$\bar{X}=\frac{-2+4-3-1+6}{5}=\frac{4}{5}=0,8$$

Воспользуемся определением и получим:

$$D=\frac{(-2-0,8{)}^2+(4-0,8{)}^2+(-3-0,8{)}^2+(-1-0,8{)}^2+(6-0,8{)}^2}{5}=$$$$=\frac{62,8}{5}=12,56$$$$\sigma =\sqrt{D}=\sqrt{12,56}\approx 3,54$$

Ответ: $D=12,56$; $\sigma \approx 3,54$

Задача 1:

Найдем дисперсию и среднее квадратичное отклонение выборки:

$3, 8, 5, 6$

Шаг 1: Нахождение среднего ($\bar{X}$)

Среднее выборки ($\bar{X}$) вычисляется как сумма всех элементов выборки, деленная на их количество:

$$\bar{X} = \frac{3 + 8 + 5 + 6}{4} = \frac{22}{4} = 5,5$$

Ответ: $\bar{X} = 5,5$

Шаг 2: Нахождение дисперсии ($D$)

Дисперсия ($D$) вычисляется по формуле:

$$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i — \bar{X})^2$$

где $X_i$ — элементы выборки, $\bar{X}$ — среднее выборки, а $n$ — количество элементов.

Вычислим отклонения от среднего:

• $(3 — 5,5)^2 = (-2,5)^2 = 6,25$
• $(8 — 5,5)^2 = (2,5)^2 = 6,25$
• $(5 — 5,5)^2 = (-0,5)^2 = 0,25$
• $(6 — 5,5)^2 = (0,5)^2 = 0,25$

Теперь суммируем эти квадраты отклонений:

$$\sum (X_i — \bar{X})^2 = 6,25 + 6,25 + 0,25 + 0,25 = 13$$

Делим сумму на количество элементов $n = 4$:

$$D = \frac{13}{4} = 3,25$$

Ответ: $D = 3,25$

Шаг 3: Нахождение среднего квадратичного отклонения ($\sigma$)

Среднее квадратичное отклонение ($\sigma$) — это квадратный корень из дисперсии:

$$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{3,25} \approx 1,8$$

Ответ: $\sigma \approx 1,8$

Итоговые ответы для задачи 1:

• $\bar{X} = 5,5$
• $D = 3,25$
• $\sigma \approx 1,8$

Задача 2:

Найдем дисперсию и среднее квадратичное отклонение выборки:

$4, 7, 3, 9$

Шаг 1: Нахождение среднего ($\bar{X}$)

Среднее выборки:

$$\bar{X} = \frac{4 + 7 + 3 + 9}{4} = \frac{23}{4} = 5,75$$

Ответ: $\bar{X} = 5,75$

Шаг 2: Нахождение дисперсии ($D$)

Дисперсия:

$$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i — \bar{X})^2$$

Вычислим отклонения от среднего:

• $(4 — 5,75)^2 = (-1,75)^2 = 3,0625$
• $(7 — 5,75)^2 = (1,25)^2 = 1,5625$
• $(3 — 5,75)^2 = (-2,75)^2 = 7,5625$
• $(9 — 5,75)^2 = (3,25)^2 = 10,5625$

Теперь суммируем эти квадраты отклонений:

$$\sum (X_i — \bar{X})^2 = 3,0625 + 1,5625 + 7,5625 + 10,5625 = 22,75$$

Делим сумму на количество элементов $n = 4$:

$$D = \frac{22,75}{4} = 5,6875$$

Ответ: $D = 5,6875$

Шаг 3: Нахождение среднего квадратичного отклонения ($\sigma$)

Среднее квадратичное отклонение:

$$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{5,6875} \approx 2,38$$

Ответ: $\sigma \approx 2,38$

Итоговые ответы для задачи 2:

• $\bar{X} = 5,75$
• $D = 5,6875$
• $\sigma \approx 2,38$

Задача 3:

Найдем дисперсию и среднее квадратичное отклонение выборки:

$4, 1, 3, 2, 2$

Шаг 1: Нахождение среднего ($\bar{X}$)

Среднее выборки:

$$\bar{X} = \frac{4 + 1 + 3 + 2 + 2}{5} = \frac{12}{5} = 2,4$$

Ответ: $\bar{X} = 2,4$

Шаг 2: Нахождение дисперсии ($D$)

Дисперсия:

$$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i — \bar{X})^2$$

Вычислим отклонения от среднего:

• $(4 — 2,4)^2 = (1,6)^2 = 2,56$
• $(1 — 2,4)^2 = (-1,4)^2 = 1,96$
• $(3 — 2,4)^2 = (0,6)^2 = 0,36$
• $(2 — 2,4)^2 = (-0,4)^2 = 0,16$
• $(2 — 2,4)^2 = (-0,4)^2 = 0,16$

Теперь суммируем эти квадраты отклонений:

$$\sum (X_i — \bar{X})^2 = 2,56 + 1,96 + 0,36 + 0,16 + 0,16 = 5,2$$

Делим сумму на количество элементов $n = 5$:

$$D = \frac{5,2}{5} = 1,04$$

Ответ: $D = 1,04$

Шаг 3: Нахождение среднего квадратичного отклонения ($\sigma$)

Среднее квадратичное отклонение:

$$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{1,04} \approx 1,02$$

Ответ: $\sigma \approx 1,02$

Итоговые ответы для задачи 3:

• $\bar{X} = 2,4$
• $D = 1,04$
• $\sigma \approx 1,02$

Задача 4:

Найдем дисперсию и среднее квадратичное отклонение выборки:

$3, 2, 1, 1, 5$

Шаг 1: Нахождение среднего ($\bar{X}$)

Среднее выборки:

$$\bar{X} = \frac{3 + 2 + 1 + 1 + 5}{5} = \frac{12}{5} = 2,4$$

Ответ: $\bar{X} = 2,4$

Шаг 2: Нахождение дисперсии ($D$)

Дисперсия:

$$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i — \bar{X})^2$$

Вычислим отклонения от среднего:

• $(3 — 2,4)^2 = (0,6)^2 = 0,36$
• $(2 — 2,4)^2 = (-0,4)^2 = 0,16$
• $(1 — 2,4)^2 = (-1,4)^2 = 1,96$
• $(1 — 2,4)^2 = (-1,4)^2 = 1,96$
• $(5 — 2,4)^2 = (2,6)^2 = 6,76$

Теперь суммируем эти квадраты отклонений:

$$\sum (X_i — \bar{X})^2 = 0,36 + 0,16 + 1,96 + 1,96 + 6,76 = 11,2$$

Делим сумму на количество элементов $n = 5$:

$$D = \frac{11,2}{5} = 2,24$$

Ответ: $D = 2,24$

Шаг 3: Нахождение среднего квадратичного отклонения ($\sigma$)

Среднее квадратичное отклонение:

$$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{2,24} \approx 1,5$$

Ответ: $\sigma \approx 1,5$

Итоговые ответы для задачи 4:

• $\bar{X} = 2,4$
• $D = 2,24$
• $\sigma \approx 1,5$

Задача 5:

Найдем дисперсию и среднее квадратичное отклонение выборки:

$2, -1, 3, -2, 5$

Шаг 1: Нахождение среднего ($\bar{X}$)

Среднее выборки:

$$\bar{X} = \frac{2 — 1 + 3 — 2 + 5}{5} = \frac{7}{5} = 1,4$$

Ответ: $\bar{X} = 1,4$

Шаг 2: Нахождение дисперсии ($D$)

Дисперсия:

$$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i — \bar{X})^2$$

Вычислим отклонения от среднего:

• $(2 — 1,4)^2 = (0,6)^2 = 0,36$
• $(-1 — 1,4)^2 = (-2,4)^2 = 5,76$
• $(3 — 1,4)^2 = (1,6)^2 = 2,56$
• $(-2 — 1,4)^2 = (-3,4)^2 = 11,56$
• $(5 — 1,4)^2 = (3,6)^2 = 12,96$

Теперь суммируем эти квадраты отклонений:

$$\sum (X_i — \bar{X})^2 = 0,36 + 5,76 + 2,56 + 11,56 + 12,96 = 33,2$$

Делим сумму на количество элементов $n = 5$:

$$D = \frac{33,2}{5} = 6,64$$

Ответ: $D = 6,64$

Шаг 3: Нахождение среднего квадратичного отклонения ($\sigma$)

Среднее квадратичное отклонение:

$$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{6,64} \approx 2,58$$

Ответ: $\sigma \approx 2,58$

Итоговые ответы для задачи 5:

• $\bar{X} = 1,4$
• $D = 6,64$
• $\sigma \approx 2,58$

Задача 6:

Найдем дисперсию и среднее квадратичное отклонение выборки:

$-2, 4, -3, -1, 6$

Шаг 1: Нахождение среднего ($\bar{X}$)

Среднее выборки:

$$\bar{X} = \frac{-2 + 4 — 3 — 1 + 6}{5} = \frac{4}{5} = 0,8$$

Ответ: $\bar{X} = 0,8$

Шаг 2: Нахождение дисперсии ($D$)

Дисперсия:

$$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i — \bar{X})^2$$

Вычислим отклонения от среднего:

• $(-2 — 0,8)^2 = (-2,8)^2 = 7,84$
• $(4 — 0,8)^2 = (3,2)^2 = 10,24$
• $(-3 — 0,8)^2 = (-3,8)^2 = 14,44$
• $(-1 — 0,8)^2 = (-1,8)^2 = 3,24$
• $(6 — 0,8)^2 = (5,2)^2 = 27,04$

Теперь суммируем эти квадраты отклонений:

$$\sum (X_i — \bar{X})^2 = 7,84 + 10,24 + 14,44 + 3,24 + 27,04 = 62,8$$

Делим сумму на количество элементов $n = 5$:

$$D = \frac{62,8}{5} = 12,56$$

Ответ: $D = 12,56$

Шаг 3: Нахождение среднего квадратичного отклонения ($\sigma$)

Среднее квадратичное отклонение:

$$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{12,56} \approx 3,54$$

Ответ: $\sigma \approx 3,54$

Итоговые ответы для задачи 6:

• $\bar{X} = 0,8$
• $D = 12,56$
• $\sigma \approx 3,54$