ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1207 Алимов — Подробные Ответы

Сравнить дисперсии выборок, имеющих разные средние значения:

1. 4, 6, 8, 9, 8 и 6, 8, 10, 12, 9;
2. 6, 3, 4, 8, 9 и 2, 6, 3, 7, 5, 7.

1) 4, 6, 8, 9, 8 и 6, 8, 10, 12, 9;

Первая выборка:

$$\overline{X} = \frac{4 + 6 + 8 + 9 + 8}{5} = \frac{35}{5} = 7;$$ $$D = \frac{(7 — 4)^2 + (7 — 6)^2 + (8 — 7)^2 + (9 — 7)^2 + (8 — 7)^2}{5};$$ $$D = \frac{3^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 1^2}{5} = \frac{9 + 1 + 1 + 4 + 1}{5} = \frac{16}{5} = 3,2;$$

Вторая выборка:

$$\overline{X} = \frac{6 + 8 + 10 + 12 + 9}{5} = \frac{45}{5} = 9;$$ $$D = \frac{(9 — 6)^2 + (9 — 8)^2 + (10 — 9)^2 + (12 — 9)^2 + (9 — 9)^2}{5};$$ $$D = \frac{3^2 + 1^2 + 1^2 + 3^2 + 0^2}{5} = \frac{9 + 1 + 1 + 9 + 0}{5} = \frac{20}{5} = 4;$$

Ответ: дисперсия второй выборки больше.

2) 6, 3, 4, 8, 9 и 2, 6, 3, 7, 5, 7;

Первая выборка:

$$\overline{X} = \frac{6 + 3 + 4 + 8 + 9}{5} = \frac{30}{5} = 6;$$ $$D = \frac{(6 — 6)^2 + (6 — 3)^2 + (6 — 4)^2 + (8 — 6)^2 + (9 — 6)^2}{5};$$ $$D = \frac{0^2 + 3^2 + 2^2 + 2^2 + 3^2}{5} = \frac{0 + 9 + 4 + 4 + 9}{5} = \frac{26}{5} = 5,2;$$

Вторая выборка:

$$\overline{X} = \frac{2 + 6 + 3 + 7 + 5 + 7}{6} = \frac{30}{6} = 5;$$ $$D = \frac{(5 — 2)^2 + (6 — 5)^2 + (5 — 3)^2 + (7 — 5)^2 + (5 — 5)^2 + (7 — 5)^2}{6};$$ $$D = \frac{3^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 0^2 + 2^2}{6} = \frac{9 + 1 + 4 + 4 + 0 + 4}{6} = \frac{22}{6} = 3 \frac{2}{3};$$

Ответ: дисперсия первой выборки больше.

Основные шаги для решения задачи:

1. Найти среднее значение $\overline{X}$ для каждой выборки.
2. Вычислить дисперсию $D$ для каждой выборки, используя отклонения от среднего.
3. Сравнить дисперсии двух выборок.

Формулы:

Среднее значение $\overline{X}$ выборки:

$$\overline{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n}$$

где $X_i$ — значения выборки, а $n$ — количество элементов в выборке.

Дисперсия $D$ выборки:

$$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i — \overline{X})^2$$

где:

• $X_i$ — значения выборки,
• $\overline{X}$ — среднее значение выборки,
• $n$ — количество элементов в выборке.

Для сравнения дисперсий, если одна дисперсия больше другой, то элементы выборки во второй выборке имеют большую вариативность относительно среднего.

Теперь перейдем к решению задачи.

Пример 1:

Даны две выборки:

• Первая выборка: $4, 6, 8, 9, 8$
• Вторая выборка: $6, 8, 10, 12, 9$

Шаг 1: Найдем среднее значение $\overline{X}$ для обеих выборок.

Первая выборка:

$$\overline{X}_1 = \frac{4 + 6 + 8 + 9 + 8}{5} = \frac{35}{5} = 7$$

Вторая выборка:

$$\overline{X}_2 = \frac{6 + 8 + 10 + 12 + 9}{5} = \frac{45}{5} = 9$$

Средние значения обеих выборок равны 7 и 9, соответственно, что соответствует данным в задаче.

Шаг 2: Рассчитаем дисперсию для каждой выборки.

Первая выборка:
Для расчета дисперсии первой выборки, сначала находим отклонения каждого элемента от среднего:

• $(4 — 7)^2 = (-3)^2 = 9$
• $(6 — 7)^2 = (-1)^2 = 1$
• $(8 — 7)^2 = (1)^2 = 1$
• $(9 — 7)^2 = (2)^2 = 4$
• $(8 — 7)^2 = (1)^2 = 1$

Теперь находим сумму квадратов отклонений и делим на количество элементов:

$$D_1 = \frac{9 + 1 + 1 + 4 + 1}{5} = \frac{16}{5} = 3,2$$

Вторая выборка:
Для расчета дисперсии второй выборки, также находим отклонения каждого элемента от среднего:

• $(6 — 9)^2 = (-3)^2 = 9$
• $(8 — 9)^2 = (-1)^2 = 1$
• $(10 — 9)^2 = (1)^2 = 1$
• $(12 — 9)^2 = (3)^2 = 9$
• $(9 — 9)^2 = (0)^2 = 0$

Теперь находим сумму квадратов отклонений и делим на количество элементов:

$$D_2 = \frac{9 + 1 + 1 + 9 + 0}{5} = \frac{20}{5} = 4$$

Шаг 3: Сравниваем дисперсии.

• Дисперсия первой выборки: $D_1 = 3,2$
• Дисперсия второй выборки: $D_2 = 4$

Ответ: дисперсия второй выборки больше.

Пример 2:

Даны две выборки:

• Первая выборка: $6, 3, 4, 8, 9$
• Вторая выборка: $2, 6, 3, 7, 5, 7$

Шаг 1: Найдем среднее значение $\overline{X}$ для обеих выборок.

Первая выборка:

$$\overline{X}_1 = \frac{6 + 3 + 4 + 8 + 9}{5} = \frac{30}{5} = 6$$

Вторая выборка:

$$\overline{X}_2 = \frac{2 + 6 + 3 + 7 + 5 + 7}{6} = \frac{30}{6} = 5$$

Среднее значение первой выборки — 6, а для второй выборки — 5.

Шаг 2: Рассчитаем дисперсию для каждой выборки.

Первая выборка:
Для расчета дисперсии первой выборки, сначала находим отклонения каждого элемента от среднего:

• $(6 — 6)^2 = 0^2 = 0$
• $(3 — 6)^2 = (-3)^2 = 9$
• $(4 — 6)^2 = (-2)^2 = 4$
• $(8 — 6)^2 = (2)^2 = 4$
• $(9 — 6)^2 = (3)^2 = 9$

Теперь находим сумму квадратов отклонений и делим на количество элементов:

$$D_1 = \frac{0 + 9 + 4 + 4 + 9}{5} = \frac{26}{5} = 5,2$$

Вторая выборка:
Для расчета дисперсии второй выборки, также находим отклонения каждого элемента от среднего:

• $(2 — 5)^2 = (-3)^2 = 9$
• $(6 — 5)^2 = (1)^2 = 1$
• $(3 — 5)^2 = (-2)^2 = 4$
• $(7 — 5)^2 = (2)^2 = 4$
• $(5 — 5)^2 = (0)^2 = 0$
• $(7 — 5)^2 = (2)^2 = 4$

Теперь находим сумму квадратов отклонений и делим на количество элементов:

$$D_2 = \frac{9 + 1 + 4 + 4 + 0 + 4}{6} = \frac{22}{6} \approx 3,67$$

Шаг 3: Сравниваем дисперсии.

• Дисперсия первой выборки: $D_1 = 5,2$
• Дисперсия второй выборки: $D_2 \approx 3,67$

Ответ: дисперсия первой выборки больше.

Итоги:

1. Для первой задачи дисперсия второй выборки больше.
2. Для второй задачи дисперсия первой выборки больше.