ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1205 Алимов — Подробные Ответы

Сравнить дисперсии двух выборок, имеющих одинаковые средние значения:

1. 6, 10, 7, 8, 9 и 8, 9, 5, 10;
2. 5, 12, 7, 8, 18 и 17, б, И, 7, 9, 10.

1) 6, 10, 7, 8, 9 и 8, 9, 5, 10;

Первая выборка:

$$\overline{X} = \frac{6 + 10 + 7 + 8 + 9}{5} = \frac{40}{5} = 8;$$ $$D = \frac{(8 — 6)^2 + (10 — 8)^2 + (8 — 7)^2 + (8 — 8)^2 + (9 — 8)^2}{5};$$ $$D = \frac{2^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2}{5} = \frac{4 + 4 + 1 + 1}{5} = \frac{10}{5} = 2;$$

Вторая выборка:

$$\overline{X} = \frac{8 + 9 + 5 + 10}{4} = \frac{32}{4} = 8;$$ $$D = \frac{(8 — 8)^2 + (9 — 8)^2 + (8 — 5)^2 + (10 — 8)^2}{4};$$ $$D = \frac{0^2 + 1^2 + 3^2 + 2^2}{4} = \frac{1 + 9 + 4}{4} = \frac{14}{4} = 3,5;$$

Ответ: дисперсия второй выборки больше.

2) 5, 12, 7, 8, 18 и 17, 6, 11, 7, 9, 10;

Первая выборка:

$$\overline{X} = \frac{5 + 12 + 7 + 8 + 18}{5} = \frac{50}{5} = 10;$$ $$D = \frac{(10 — 5)^2 + (12 — 10)^2 + (10 — 7)^2 + (10 — 8)^2 + (18 — 10)^2}{5};$$ $$D = \frac{5^2 + 2^2 + 3^2 + 2^2 + 8^2}{5} = \frac{25 + 4 + 9 + 4 + 64}{5} = \frac{106}{5} = 21,2;$$

Вторая выборка:

$$\overline{X} = \frac{17 + 6 + 11 + 7 + 9 + 10}{6} = \frac{60}{6} = 10;$$ $$D = \frac{(17 — 10)^2 + (10 — 6)^2 + (11 — 10)^2 + (10 — 7)^2 + (10 — 9)^2 + (10 — 10)^2}{6};$$ $$D = \frac{7^2 + 4^2 + 1^2 + 3^2 + 1^2 + 0^2}{6} = \frac{49 + 16 + 1 + 9 + 1 + 0}{6} = \frac{76}{6} = 12 \frac{2}{3};$$

Ответ: дисперсия первой выборки больше.

Для решения задачи будем шаг за шагом анализировать дисперсии двух выборок с одинаковыми средними значениями.

Дисперсия ($D$) — это мера разброса значений выборки относительно её среднего. Она вычисляется по формуле:

$$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i — \overline{X})^2$$

где:

• $X_i$ — каждый элемент выборки,
• $\overline{X}$ — среднее значение выборки,
• $n$ — количество элементов в выборке.

Среднее квадратичное отклонение ($\sigma$) — это квадратный корень из дисперсии:

$$\sigma = \sqrt{D}$$

Шаги решения:

1. Находим среднее значение выборки $\overline{X}$ для каждой из двух выборок.
2. Рассчитываем дисперсию для каждой выборки, используя отклонения от среднего.
3. Сравниваем дисперсии двух выборок.

Пример 1:

Даны две выборки:

• Первая выборка: $6, 10, 7, 8, 9$
• Вторая выборка: $8, 9, 5, 10$

Шаг 1: Находим среднее значение $\overline{X}$ для обеих выборок.

Первая выборка:

$$\overline{X}_1 = \frac{6 + 10 + 7 + 8 + 9}{5} = \frac{40}{5} = 8$$

Вторая выборка:

$$\overline{X}_2 = \frac{8 + 9 + 5 + 10}{4} = \frac{32}{4} = 8$$

Средние значения обеих выборок равны, и это $\overline{X} = 8$.

Шаг 2: Рассчитываем дисперсию для каждой выборки.

Первая выборка:

$$D_1 = \frac{(6 — 8)^2 + (10 — 8)^2 + (7 — 8)^2 + (8 — 8)^2 + (9 — 8)^2}{5}$$

Вычислим отклонения от среднего для каждой точки выборки:

• $(6 — 8)^2 = (-2)^2 = 4$
• $(10 — 8)^2 = 2^2 = 4$
• $(7 — 8)^2 = (-1)^2 = 1$
• $(8 — 8)^2 = 0^2 = 0$
• $(9 — 8)^2 = 1^2 = 1$

Теперь вычислим сумму квадратов отклонений и разделим её на количество элементов выборки:

$$D_1 = \frac{4 + 4 + 1 + 0 + 1}{5} = \frac{10}{5} = 2$$

Вторая выборка:

$$D_2 = \frac{(8 — 8)^2 + (9 — 8)^2 + (5 — 8)^2 + (10 — 8)^2}{4}$$

Вычислим отклонения от среднего для каждой точки выборки:

• $(8 — 8)^2 = 0^2 = 0$
• $(9 — 8)^2 = 1^2 = 1$
• $(5 — 8)^2 = (-3)^2 = 9$
• $(10 — 8)^2 = 2^2 = 4$

Теперь вычислим сумму квадратов отклонений и разделим её на количество элементов выборки:

$$D_2 = \frac{0 + 1 + 9 + 4}{4} = \frac{14}{4} = 3,5$$

Шаг 3: Сравниваем дисперсии.

• Дисперсия первой выборки: $D_1 = 2$
• Дисперсия второй выборки: $D_2 = 3,5$

Ответ: дисперсия второй выборки больше.

Пример 2:

Даны две выборки:

• Первая выборка: $5, 12, 7, 8, 18$
• Вторая выборка: $17, 6, 11, 7, 9, 10$

Шаг 1: Находим среднее значение $\overline{X}$ для обеих выборок.

Первая выборка:

$$\overline{X}_1 = \frac{5 + 12 + 7 + 8 + 18}{5} = \frac{50}{5} = 10$$

Вторая выборка:

$$\overline{X}_2 = \frac{17 + 6 + 11 + 7 + 9 + 10}{6} = \frac{60}{6} = 10$$

Средние значения обеих выборок равны, и это $\overline{X} = 10$.

Шаг 2: Рассчитываем дисперсию для каждой выборки.

Первая выборка:

$$D_1 = \frac{(5 — 10)^2 + (12 — 10)^2 + (7 — 10)^2 + (8 — 10)^2 + (18 — 10)^2}{5}$$

Вычислим отклонения от среднего для каждой точки выборки:

• $(5 — 10)^2 = (-5)^2 = 25$
• $(12 — 10)^2 = 2^2 = 4$
• $(7 — 10)^2 = (-3)^2 = 9$
• $(8 — 10)^2 = (-2)^2 = 4$
• $(18 — 10)^2 = 8^2 = 64$

Теперь вычислим сумму квадратов отклонений и разделим её на количество элементов выборки:

$$D_1 = \frac{25 + 4 + 9 + 4 + 64}{5} = \frac{106}{5} = 21,2$$

Вторая выборка:

$$D_2 = \frac{(17 — 10)^2 + (6 — 10)^2 + (11 — 10)^2 + (7 — 10)^2 + (9 — 10)^2 + (10 — 10)^2}{6}$$

Вычислим отклонения от среднего для каждой точки выборки:

• $(17 — 10)^2 = 7^2 = 49$
• $(6 — 10)^2 = (-4)^2 = 16$
• $(11 — 10)^2 = 1^2 = 1$
• $(7 — 10)^2 = (-3)^2 = 9$
• $(9 — 10)^2 = (-1)^2 = 1$
• $(10 — 10)^2 = 0^2 = 0$

Теперь вычислим сумму квадратов отклонений и разделим её на количество элементов выборки:

$$D_2 = \frac{49 + 16 + 1 + 9 + 1 + 0}{6} = \frac{76}{6} = 12,67$$

Шаг 3: Сравниваем дисперсии.

• Дисперсия первой выборки: $D_1 = 21,2$
• Дисперсия второй выборки: $D_2 = 12,67$

Ответ: дисперсия первой выборки больше.

Итоги:

1. Для первой задачи дисперсия второй выборки больше.
2. Для второй задачи дисперсия первой выборки больше.