ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1204 Алимов — Подробные Ответы

Найти среднее квадратичное отклонение от среднего значения элементов выборки:

1. 3 кг, 5 кг, 5 кг, 8 кг, 4 кг;
2. 12 м, 10 м, 7 м, 12 м, 9 м.

1) Выборка: 3 кг; 5 кг; 5 кг; 8 кг; 4 кг;

$$\overline{X} = \frac{3 + 5 + 5 + 8 + 4}{5} = \frac{25}{5} = 5;$$ $$D = \frac{(5 — 3)^2 + 2 \cdot (5 — 5)^2 + (8 — 5)^2 + (5 — 4)^2}{5};$$ $$D = \frac{2^2 + 2 \cdot 0^2 + 3^2 + 1^2}{5} = \frac{4 + 9 + 1}{5} = \frac{14}{5} = 2,8;$$ $$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{2,8} \approx 1,67;$$

Ответ: $\sigma \approx 1,67$.

2) Выборка: 12 м; 10 м; 7 м; 12 м; 9 м;

$$\overline{X} = \frac{12 + 10 + 7 + 12 + 9}{5} = \frac{50}{5} = 10;$$ $$D = \frac{(12 — 10)^2 + (10 — 10)^2 + (10 — 7)^2 + (12 — 10)^2 + (10 — 9)^2}{5};$$ $$D = \frac{2^2 + 0^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2}{5} = \frac{4 + 9 + 4 + 1}{5} = \frac{18}{5} = 3,6;$$ $$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{3,6} \approx 1,89;$$

Ответ: $\sigma \approx 1,89$.

Для того чтобы найти среднее квадратичное отклонение от среднего значения элементов выборки, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти среднее значение выборки.
2. Рассчитать дисперсию выборки.
3. Извлечь квадратный корень из дисперсии, чтобы найти среднее квадратичное отклонение.

Формула для дисперсии:

$$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i — \overline{X})^2$$

где:

• $X_i$ — элементы выборки,
• $\overline{X}$ — среднее значение выборки,
• $n$ — количество элементов выборки.

Среднее квадратичное отклонение ($\sigma$) вычисляется как квадратный корень из дисперсии:

$$\sigma = \sqrt{D}$$

Пример 1:

Даны значения выборки:
3 кг, 5 кг, 5 кг, 8 кг, 4 кг

Шаг 1: Найдем среднее значение $\overline{X}$

Среднее значение вычисляется как сумма всех элементов выборки, деленная на количество элементов:

$$\overline{X} = \frac{3 + 5 + 5 + 8 + 4}{5} = \frac{25}{5} = 5$$

Шаг 2: Рассчитаем дисперсию $D$

Дисперсия вычисляется по формуле:

$$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i — \overline{X})^2$$

Найдём отклонения от среднего и их квадраты:

• $X_1 = 3$, отклонение: $(3 — 5) = -2$, квадрат отклонения: $(-2)^2 = 4$
• $X_2 = 5$, отклонение: $(5 — 5) = 0$, квадрат отклонения: $0^2 = 0$
• $X_3 = 5$, отклонение: $(5 — 5) = 0$, квадрат отклонения: $0^2 = 0$
• $X_4 = 8$, отклонение: $(8 — 5) = 3$, квадрат отклонения: $3^2 = 9$
• $X_5 = 4$, отклонение: $(4 — 5) = -1$, квадрат отклонения: $(-1)^2 = 1$

Теперь подставим все квадраты отклонений в формулу для дисперсии:

$$D = \frac{1}{5} \left( 4 + 0 + 0 + 9 + 1 \right) = \frac{14}{5} = 2,8$$

Шаг 3: Рассчитаем среднее квадратичное отклонение $\sigma$

Среднее квадратичное отклонение $\sigma$ — это квадратный корень из дисперсии:

$$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{2,8} \approx 1,67$$

Ответ для первого примера:

$$\sigma \approx 1,67$$

Пример 2:

Даны значения выборки:
12 м, 10 м, 7 м, 12 м, 9 м

Шаг 1: Найдем среднее значение $\overline{X}$

Среднее значение вычисляется как сумма всех элементов выборки, деленная на количество элементов:

$$\overline{X} = \frac{12 + 10 + 7 + 12 + 9}{5} = \frac{50}{5} = 10$$

Шаг 2: Рассчитаем дисперсию $D$

Дисперсия вычисляется по формуле:

$$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i — \overline{X})^2$$

Найдём отклонения от среднего и их квадраты:

• $X_1 = 12$, отклонение: $(12 — 10) = 2$, квадрат отклонения: $2^2 = 4$
• $X_2 = 10$, отклонение: $(10 — 10) = 0$, квадрат отклонения: $0^2 = 0$
• $X_3 = 7$, отклонение: $(7 — 10) = -3$, квадрат отклонения: $(-3)^2 = 9$
• $X_4 = 12$, отклонение: $(12 — 10) = 2$, квадрат отклонения: $2^2 = 4$
• $X_5 = 9$, отклонение: $(9 — 10) = -1$, квадрат отклонения: $(-1)^2 = 1$

Теперь подставим все квадраты отклонений в формулу для дисперсии:

$$D = \frac{1}{5} \left( 4 + 0 + 9 + 4 + 1 \right) = \frac{18}{5} = 3,6$$

Шаг 3: Рассчитаем среднее квадратичное отклонение $\sigma$

Среднее квадратичное отклонение $\sigma$ — это квадратный корень из дисперсии:

$$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{3,6} \approx 1,89$$

Ответ для второго примера:

$$\sigma \approx 1,89$$

Итоговые ответы:

1. Для выборки: 3 кг, 5 кг, 5 кг, 8 кг, 4 кг среднее квадратичное отклонение $\sigma \approx 1,67$.
2. Для выборки: 12 м, 10 м, 7 м, 12 м, 9 м среднее квадратичное отклонение $\sigma \approx 1,89$.