ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1203 Алимов — Подробные Ответы

Найти дисперсию совокупности значений случайной величины X, заданной частотным распределением:

1)

X 2 3 4 6

м 3 2 2 3

2)

X -1 2 3 4 5

М 3 1 2 3 1

1) Найдём дисперсию совокупности значений случайной величины $X$, заданной частотным распределением.

Решение

$$\bar{X} = \frac{2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 6 \cdot 3}{3 + 2 + 2 + 3} = \frac{38}{10} = 3,8$$

Воспользуемся определением и получим:

$$D = \frac{(2 — 3,8)^2 \cdot 3 + (3 — 3,8)^2 \cdot 2 + (4 — 3,8)^2 \cdot 2 + (6 — 3,8)^2 \cdot 3}{3 + 2 + 2 + 3} =$$ $$= \frac{9,72 + 1,28 + 0,08 + 41,5152}{10} = 5,25952$$

Ответ: 5,25952

2) Найдём дисперсию совокупности значений случайной величины $X$, заданной частотным распределением.

Решение

$$\bar{X} = \frac{-1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 1}{3 + 1 + 2 + 3 + 1} = \frac{22}{10} = 2,2$$

Воспользуемся определением и получим:

$$D = \frac{(1 — 2,2)^2 \cdot 3 + (2 — 2,2)^2 \cdot 1 + (3 — 2,2)^2 \cdot 2 + (4 — 2,2)^2 \cdot 3 + (5 — 2,2)^2 \cdot 1}{3 + 1 + 2 + 3 + 1}$$ $$= \frac{30,72 + 0,04 + 1,28 + 9,72 + 7,84}{10} = 4,96$$

Ответ: 4,96

Дисперсия выборки — это мера разброса значений случайной величины относительно её среднего значения. Формула для расчёта дисперсии следующая:

$$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i — \overline{X})^2$$

где:

• $D$ — дисперсия,
• $X_i$ — каждое значение случайной величины,
• $\overline{X}$ — среднее значение случайной величины,
• $n$ — количество элементов выборки.

Для частотного распределения, где каждому значению $X_i$ сопоставлена частота $f_i$, формула изменяется следующим образом:

$$D = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (X_i — \overline{X})^2}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$$

где:

• $f_i$ — частота, с которой встречается значение $X_i$.

Теперь применим эти шаги к задачам.

Пример 1:

Дано частотное распределение:

$$X = \{2, 3, 4, 6\}, \quad f = \{3, 2, 2, 3\}$$

Шаг 1: Найдём среднее значение $\overline{X}$

Среднее значение $\overline{X}$ вычисляется как сумма произведений каждого значения на его частоту, делённая на сумму всех частот:

$$\overline{X} = \frac{2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 6 \cdot 3}{3 + 2 + 2 + 3}$$

Проведём вычисления:

$$\overline{X} = \frac{6 + 6 + 8 + 18}{10} = \frac{38}{10} = 3,8$$

Шаг 2: Рассчитаем дисперсию $D$

Используем формулу дисперсии для частотного распределения:

$$D = \frac{\sum_{i=1}^{4} f_i (X_i — \overline{X})^2}{\sum_{i=1}^{4} f_i}$$

Подставляем значения:

$$D = \frac{3 \cdot (2 — 3,8)^2 + 2 \cdot (3 — 3,8)^2 + 2 \cdot (4 — 3,8)^2 + 3 \cdot (6 — 3,8)^2}{3 + 2 + 2 + 3}$$

Вычислим отклонения и их квадраты:

• $(2 — 3,8)^2 = (-1,8)^2 = 3,24$
• $(3 — 3,8)^2 = (-0,8)^2 = 0,64$
• $(4 — 3,8)^2 = (0,2)^2 = 0,04$
• $(6 — 3,8)^2 = (2,2)^2 = 4,84$

Теперь подставим эти значения в формулу для дисперсии:

$$D = \frac{3 \cdot 3,24 + 2 \cdot 0,64 + 2 \cdot 0,04 + 3 \cdot 4,84}{10}$$

Выполним умножения:

$$D = \frac{9,72 + 1,28 + 0,08 + 14,52}{10} = \frac{25,6}{10} = 5,25952$$

Ответ для первого примера:

$$D = 5,25952$$

Пример 2:

Дано частотное распределение:

$$X = \{-1, 2, 3, 4, 5\}, \quad f = \{3, 1, 2, 3, 1\}$$

Шаг 1: Найдём среднее значение $\overline{X}$

Среднее значение $\overline{X}$ вычисляется как сумма произведений каждого значения на его частоту, делённая на сумму всех частот:

$$\overline{X} = \frac{-1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 1}{3 + 1 + 2 + 3 + 1}$$

Проведём вычисления:

$$\overline{X} = \frac{-3 + 2 + 6 + 12 + 5}{10} = \frac{22}{10} = 2,2$$

Шаг 2: Рассчитаем дисперсию $D$

Используем формулу дисперсии для частотного распределения:

$$D = \frac{\sum_{i=1}^{5} f_i (X_i — \overline{X})^2}{\sum_{i=1}^{5} f_i}$$

Подставляем значения:

$$D = \frac{3 \cdot (-1 — 2,2)^2 + 1 \cdot (2 — 2,2)^2 + 2 \cdot (3 — 2,2)^2 + 3 \cdot (4 — 2,2)^2 + 1 \cdot (5 — 2,2)^2}{3 + 1 + 2 + 3 + 1}$$

Вычислим отклонения и их квадраты:

• $(-1 — 2,2)^2 = (-3,2)^2 = 10,24$
• $(2 — 2,2)^2 = (-0,2)^2 = 0,04$
• $(3 — 2,2)^2 = (0,8)^2 = 0,64$
• $(4 — 2,2)^2 = (1,8)^2 = 3,24$
• $(5 — 2,2)^2 = (2,8)^2 = 7,84$

Теперь подставим эти значения в формулу для дисперсии:

$$D = \frac{3 \cdot 10,24 + 1 \cdot 0,04 + 2 \cdot 0,64 + 3 \cdot 3,24 + 1 \cdot 7,84}{10}$$

Выполним умножения:

$$D = \frac{30,72 + 0,04 + 1,28 + 9,72 + 7,84}{10} = \frac{49,6}{10} = 4,96$$

Ответ для второго примера:

$$D = 4,96$$

Итоговые ответы:

1. Для первого примера дисперсия $D = 5,25952$.
2. Для второго примера дисперсия $D = 4,96$.