ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1202 Алимов — Подробные Ответы

Найти дисперсию выборки:

1. 10 см, 12 см, 7 см, 11 см;
2. 16 г, 14 г, 13 г, 17 г;
3. 11 с, 14 с, 11 с, 12 с, 12 с;
4. 5 м, 13 м, 8 м, 12 м, 12 м.

Дисперсией выборки называется среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего;

1) Выборка: 10 см, 12 см, 7 см, 11 см;

$$\overline{X} = \frac{10 + 12 + 7 + 11}{4} = \frac{40}{4} = 10;$$ $$D = \frac{(10 — 10)^2 + (12 — 10)^2 + (10 — 7)^2 + (11 — 10)^2}{4};$$ $$D = \frac{0^2 + 2^2 + 3^2 + 1^2}{4} = \frac{4 + 9 + 1}{4} = \frac{14}{4} = 3,5;$$

Ответ: $D = 3,5$.

2) Выборка: 16 г, 14 г, 13 г, 17 г;

$$\overline{X} = \frac{16 + 14 + 13 + 17}{4} = \frac{60}{4} = 15;$$ $$D = \frac{(16 — 15)^2 + (15 — 14)^2 + (15 — 13)^2 + (17 — 15)^2}{4};$$ $$D = \frac{1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2}{4} = \frac{1 + 1 + 4 + 4}{4} = \frac{10}{4} = 2,5;$$

Ответ: $D = 2,5$.

3) Выборка: 11 с, 14 с, 11 с, 12 с, 12 с;

$$\overline{X} = \frac{11 + 14 + 11 + 12 + 12}{5} = \frac{60}{5} = 12;$$ $$D = \frac{(12 — 11)^2 + (14 — 12)^2 + (12 — 11)^2 + (12 — 12)^2 + (12 — 12)^2}{5};$$ $$D = \frac{1^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2}{5} = \frac{1 + 4 + 1}{5} = \frac{6}{5} = 1,2;$$

Ответ: $D = 1,2$.

4) Выборка: 5 м, 13 м, 8 м, 12 м, 12 м;

$$\overline{X} = \frac{5 + 13 + 8 + 12 + 12}{5} = \frac{50}{5} = 10;$$ $$D = \frac{(10 — 5)^2 + (13 — 10)^2 + (10 — 8)^2 + (12 — 10)^2 + (12 — 10)^2}{5};$$ $$D = \frac{5^2 + 3^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2}{5} = \frac{25 + 9 + 4 + 4 + 4}{5} = \frac{46}{5} = 9,2;$$

Ответ: $D = 9,2$.

Дисперсией выборки называется среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения выборки. Это важная характеристика для оценки того, как сильно данные в выборке разбросаны относительно среднего.

Формула для вычисления дисперсии:

$$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i — \overline{X})^2$$

где:

• $D$ — дисперсия выборки,
• $n$ — количество элементов в выборке,
• $X_i$ — каждое отдельное значение в выборке,
• $\overline{X}$ — среднее арифметическое выборки.

Чтобы вычислить дисперсию, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти среднее арифметическое выборки $\overline{X}$.
2. Для каждого элемента выборки вычислить отклонение от среднего $(X_i — \overline{X})$.
3. Возвести отклонения в квадрат.
4. Найти сумму квадратов отклонений.
5. Разделить сумму квадратов отклонений на количество элементов выборки $n$.

Теперь рассмотрим подробное решение для каждого примера.

Пример 1:

Выборка: 10 см, 12 см, 7 см, 11 см

Шаг 1: Находим среднее арифметическое выборки $\overline{X}$:

Среднее арифметическое — это сумма всех значений выборки, деленная на количество элементов:

$$\overline{X} = \frac{10 + 12 + 7 + 11}{4} = \frac{40}{4} = 10$$

Шаг 2: Вычисляем отклонения от среднего для каждого элемента выборки:

• $X_1 = 10$, отклонение от среднего: $10 — 10 = 0$
• $X_2 = 12$, отклонение от среднего: $12 — 10 = 2$
• $X_3 = 7$, отклонение от среднего: $7 — 10 = -3$
• $X_4 = 11$, отклонение от среднего: $11 — 10 = 1$

Шаг 3: Возводим отклонения в квадрат:

• $0^2 = 0$
• $2^2 = 4$
• $(-3)^2 = 9$
• $1^2 = 1$

Шаг 4: Находим сумму квадратов отклонений:

$$0 + 4 + 9 + 1 = 14$$

Шаг 5: Разделяем сумму квадратов на количество элементов выборки (4):

$$D = \frac{14}{4} = 3,5$$

Ответ для первого примера:

$$D = 3,5$$

Пример 2:

Выборка: 16 г, 14 г, 13 г, 17 г

Шаг 1: Находим среднее арифметическое выборки $\overline{X}$:

$$\overline{X} = \frac{16 + 14 + 13 + 17}{4} = \frac{60}{4} = 15$$

Шаг 2: Вычисляем отклонения от среднего для каждого элемента выборки:

• $X_1 = 16$, отклонение от среднего: $16 — 15 = 1$
• $X_2 = 14$, отклонение от среднего: $14 — 15 = -1$
• $X_3 = 13$, отклонение от среднего: $13 — 15 = -2$
• $X_4 = 17$, отклонение от среднего: $17 — 15 = 2$

Шаг 3: Возводим отклонения в квадрат:

• $1^2 = 1$
• $(-1)^2 = 1$
• $(-2)^2 = 4$
• $2^2 = 4$

Шаг 4: Находим сумму квадратов отклонений:

$$1 + 1 + 4 + 4 = 10$$

Шаг 5: Разделяем сумму квадратов на количество элементов выборки (4):

$$D = \frac{10}{4} = 2,5$$

Ответ для второго примера:

$$D = 2,5$$

Пример 3:

Выборка: 11 с, 14 с, 11 с, 12 с, 12 с

Шаг 1: Находим среднее арифметическое выборки $\overline{X}$:

$$\overline{X} = \frac{11 + 14 + 11 + 12 + 12}{5} = \frac{60}{5} = 12$$

Шаг 2: Вычисляем отклонения от среднего для каждого элемента выборки:

• $X_1 = 11$, отклонение от среднего: $11 — 12 = -1$
• $X_2 = 14$, отклонение от среднего: $14 — 12 = 2$
• $X_3 = 11$, отклонение от среднего: $11 — 12 = -1$
• $X_4 = 12$, отклонение от среднего: $12 — 12 = 0$
• $X_5 = 12$, отклонение от среднего: $12 — 12 = 0$

Шаг 3: Возводим отклонения в квадрат:

• $(-1)^2 = 1$
• $2^2 = 4$
• $(-1)^2 = 1$
• $0^2 = 0$
• $0^2 = 0$

Шаг 4: Находим сумму квадратов отклонений:

$$1 + 4 + 1 + 0 + 0 = 6$$

Шаг 5: Разделяем сумму квадратов на количество элементов выборки (5):

$$D = \frac{6}{5} = 1,2$$

Ответ для третьего примера:

$$D = 1,2$$

Пример 4:

Выборка: 5 м, 13 м, 8 м, 12 м, 12 м

Шаг 1: Находим среднее арифметическое выборки $\overline{X}$:

$$\overline{X} = \frac{5 + 13 + 8 + 12 + 12}{5} = \frac{50}{5} = 10$$

Шаг 2: Вычисляем отклонения от среднего для каждого элемента выборки:

• $X_1 = 5$, отклонение от среднего: $5 — 10 = -5$
• $X_2 = 13$, отклонение от среднего: $13 — 10 = 3$
• $X_3 = 8$, отклонение от среднего: $8 — 10 = -2$
• $X_4 = 12$, отклонение от среднего: $12 — 10 = 2$
• $X_5 = 12$, отклонение от среднего: $12 — 10 = 2$

Шаг 3: Возводим отклонения в квадрат:

• $(-5)^2 = 25$
• $3^2 = 9$
• $(-2)^2 = 4$
• $2^2 = 4$
• $2^2 = 4$

Шаг 4: Находим сумму квадратов отклонений:

$$25 + 9 + 4 + 4 + 4 = 46$$

Шаг 5: Разделяем сумму квадратов на количество элементов выборки (5):

$$D = \frac{46}{5} = 9,2$$

Ответ для четвертого примера:

$$D = 9,2$$

Итоги:

1. Для первой выборки $D = 3,5$.
2. Для второй выборки $D = 2,5$.
3. Для третьей выборки $D = 1,2$.
4. Для четвертой выборки $D = 9,2$.