ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 120 Алимов — Подробные Ответы

1. р = 7;
2. р = 16;
3. р = -3;
4. р = -7;
5. р =-4;
6. р = -10?

Выяснить, является функция

$y = x^p$

возрастающей или убывающей при

$x > 0$

, если:

1. 
   $p = 7$ 

   ;
   $p > 0$ 

   , значит функция $y = x^p$ 

   возрастает при $x > 0$ 

   ;

2. 
   $p = 16$ 

   ;
   $p > 0$ 

   , значит функция $y = x^p$ 

   возрастает при $x > 0$ 

   ;

3. 
   $p = -3$ 

   ;
   $p < 0$ 

   , значит функция $y = x^p$ 

   убывает при $x > 0$ 

   ;

4. 
   $p = -7$ 

   ;
   $p < 0$ 

   , значит функция $y = x^p$ 

   убывает при $x > 0$ 

   ;

5. 
   $p = -4$ 

   ;
   $p < 0$ 

   , значит функция $y = x^p$ 

   убывает при $x > 0$ 

   ;

6. 
   $p = -10$ 

   ;
   $p < 0$ 

   , значит функция $y = x^p$ 

   убывает при $x > 0$ 

   .

Теоретическая основа:

Функция

$y = x^p$

является степенной функцией. Ее производная находится по формуле:

$$y’ = p \cdot x^{p-1}$$

Знак производной определяет, является ли функция возрастающей или убывающей:

• Если
  $y’ > 0$ 

  при $x > 0$ 

  , то функция возрастает.

• Если
  $y’ < 0$ 

  при $x > 0$ 

  , то функция убывает.

Проанализируем это для каждого случая.

1)

$p = 7$

Функция:

$$y = x^7$$

Найдем производную:

$$y’ = 7x^{6}$$

Так как

$x^6$

всегда больше нуля при

$x > 0$

, то

$7x^6 > 0$

всегда.

Вывод:

$y = x^7$

возрастает при

$x > 0$

.

2)

$p = 16$

Функция:

$$y = x^{16}$$

Найдем производную:

$$y’ = 16x^{15}$$

Так как

$x^{15}$

положительно при

$x > 0$

, то

$16x^{15} > 0$

всегда.

Вывод:

$y = x^{16}$

возрастает при

$x > 0$

.

3)

$p = -3$

Функция:

$$y = x^{-3}$$

Найдем производную:

$$y’ = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$$

Так как

$x^4$

всегда положительно при

$x > 0$

, то дробь

$\frac{3}{x^4}$

положительна, а знак «минус» перед дробью делает всю производную отрицательной:

$$y’ < 0$$

Вывод:

$y = x^{-3}$

убывает при

$x > 0$

.

4)

$p = -7$

Функция:

$$y = x^{-7}$$

Найдем производную:

$$y’ = -7x^{-8} = -\frac{7}{x^8}$$

Так как

$x^8$

всегда положительно при

$x > 0$

, то дробь

$\frac{7}{x^8}$

положительна, а знак «минус» перед дробью делает всю производную отрицательной:

$$y’ < 0$$

Вывод:

$y = x^{-7}$

убывает при

$x > 0$

.

5)

$p = -4$

Функция:

$$y = x^{-4}$$

Найдем производную:

$$y’ = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$$

Так как

$x^5$

всегда положительно при

$x > 0$

, то дробь

$\frac{4}{x^5}$

положительна, а знак «минус» перед дробью делает всю производную отрицательной:

$$y’ < 0$$

Вывод:

$y = x^{-4}$

убывает при

$x > 0$

.

6)

$p = -10$

Функция:

$$y = x^{-10}$$

Найдем производную:

$$y’ = -10x^{-11} = -\frac{10}{x^{11}}$$

Так как

$x^{11}$

всегда положительно при

$x > 0$

, то дробь

$\frac{10}{x^{11}}$

положительна, а знак «минус» перед дробью делает всю производную отрицательной:

$$y’ < 0$$

Вывод:

$y = x^{-10}$

убывает при

$x > 0$

.

Окончательный вывод:

• Если
  $p > 0$ 

  , то функция возрастает при $x > 0$ 

  .

• Если
  $p < 0$ 

  , то функция убывает при $x > 0$ 

  .

Результаты совпадают с приведенными в условии.