ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 120 Алимов — Подробные Ответы

(Устно.) Выяснить, является ли функция у = хр возрастающей (убывающей) при х > 0, если:

1. р = 7;
2. р = 16;
3. р = -3;
4. р = -7;
5. р =-4;
6. р = -10?

Выяснить, является функция $y = x^p$ возрастающей или убывающей при $x > 0$, если:

$p = 7$

$p > 0$, значит функция  $y = x^p$ возрастает при $x > 0$

$p = 16$

$p > 0$, значит функция $y = x^p$ возрастает при $x > 0$

$p = -3$

$p < 0$, значит функция $y = x^p$ убывает при $x > 0$

$p = -7$

$p < 0$, значит функция $y = x^p$ убывает при $x > 0$

$p = -4$

$p < 0$, значит функция $y = x^p$ убывает при $x > 0$

$p = -10$

$p < 0$, значит функция $y = x^p$ убывает при  $x > 0$

Теоретическая основа:

Функция $y = x^p$ является степенной функцией. Ее производная находится по формуле:

$$y’ = p \cdot x^{p-1}$$

Знак производной определяет, является ли функция возрастающей или убывающей:

• Если $y^{\mathrm{\prime }}>0$ при $x>0$, то функция возрастает.
• Если $y^{\mathrm{\prime }}<0$  при $x>0$, то функция убывает.

Проанализируем это для каждого случая.

1) $p = 7$

Функция:

$$y = x^7$$

Найдем производную:

$$y’ = 7x^{6}$$

Так как $x^6$ всегда больше нуля при $x > 0$, то $7x^6 > 0$ всегда.

Вывод: $y = x^7$ возрастает при $x > 0$

2) $p = 16$

Функция:

$$y = x^{16}$$

Найдем производную:

$$y’ = 16x^{15}$$

Так как $x^{15}$ положительно при $x > 0$, то $16x^{15} > 0$ всегда.

Вывод: $y = x^{16}$ возрастает при $x > 0$

3) $p = -3$

Функция:

$$y = x^{-3}$$

Найдем производную:

$$y’ = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$$

Так как $x^4$ всегда положительно при $x > 0$, то дробь $\frac{3}{x^4}$ положительна, а знак «минус» перед дробью делает всю производную отрицательной:

$$y’ < 0$$

Вывод: $y = x^{-3}$ убывает при $x > 0$

4) $p = -7$

Функция:

$$y = x^{-7}$$

Найдем производную:

$$y’ = -7x^{-8} = -\frac{7}{x^8}$$

Так как $x^8$ всегда положительно при $x > 0$, то дробь $\frac{7}{x^8}$ положительна, а знак «минус» перед дробью делает всю производную отрицательной:

$$y’ < 0$$

Вывод: $y = x^{-7}$ убывает при $x > 0$

5)  $p = -4$

Функция:

$$y = x^{-4}$$

Найдем производную:

$$y’ = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$$

Так как $x^5$ всегда положительно при $x > 0$, то дробь $\frac{4}{x^5}$ положительна, а знак «минус» перед дробью делает всю производную отрицательной:

$$y’ < 0$$

Вывод: $y = x^{-4}$ убывает при $x > 0$

6) $p = -10$

Функция:

$$y = x^{-10}$$

Найдем производную:

$$y’ = -10x^{-11} = -\frac{10}{x^{11}}$$

Так как $x^{11}$ всегда положительно при $x > 0$, то дробь $\frac{10}{x^{11}}$ положительна, а знак «минус» перед дробью делает всю производную отрицательной:

$$y’ < 0$$

Вывод: $y = x^{-10}$ убывает при $x > 0$