ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 119 Алимов — Подробные Ответы

Изобразить схематически график функции и указать её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция ограниченной сверху (снизу):

1. у = х6;
2. у = х5;
3. у = х7;
4. у = х^-2;
5. у = х^-3;
6. у = х6.

1) $y = x^6$

Показатель степени — четное натуральное число, значит:

Область определения функции: $x\in \mathbb{R}$

Множество значений функции: $y\ge 0$$$

Схематический график функции:

Ответ: ограничена снизу.

2) $y = x^5$

Показатель степени — нечетное натуральное число, значит:

Область определения функции: $x\in \mathbb{R}$

Множество значений функции: $y\in \mathbb{R}$

$$Схематический график функции:

Ответ: не ограничена.

3) $y = x^7$

Показатель степени — нечетное натуральное число, значит:

Область определения функции: $x\in \mathbb{R}$$$

Множество значений функции: $y\in \mathbb{R}$

Схематический график функции:

Ответ: не ограничена.

4) $y = x^{-2}$

Показатель степени — отрицательное четное целое число, значит:

Область определения функции: $x\mathrm{\ne }0$

$$Множество значений функции: $y>0$

$$Схематический график функции:

Ответ: ограничена снизу.

5) $y = x^{-3}$

Показатель степени — отрицательное нечетное целое число, значит:

Область определения функции: $x\mathrm{\ne }0$

$$Множество значений функции: $y\mathrm{\ne }0$

$$Схематический график функции:

Ответ: не ограничена.

6) $y = x^6$

Показатель степени — натуральное число, значит:

Область определения функции: $x\in \mathbb{R}$

$$Множество значений функции: $y\ge 0$

$$Схематический график функции:

Ответ: ограничена снизу.

1) $y = x^6$

1. Форма записи и общий анализ

Функция представлена в виде степенной функции:

$$y = x^6$$

Здесь основание — переменная $x$, а показатель степени 6 — четное натуральное число.

2. Область определения функции

Функция определена для любых значений $x$, поскольку любое число можно возвести в шестую степень.

$$D(y) = (-\infty; +\infty) = \mathbb{R}$$

3. Множество значений функции

• Возведение в четную степень делает любые числа неотрицательными.
• Минимальное значение: $y=0$  при $x=0$
• Максимального значения нет, так как при $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\to +\mathrm{\infty }$, $y\to +\mathrm{\infty }$
  $|x| \to +\infty$

$$E(y) = [0; +\infty)$$

4. Ограниченность функции

Снизу: функция ограничена, так как $y\ge 0$

Сверху: функция не ограничена, так как $y\to +\mathrm{\infty }$
$y \to +\infty$

5. Итоговый ответ$$\boxed{\text{Ограничена снизу.}}$$

2) $y = x^5$

1. Анализ функции

Функция степенная:

$$y = x^5$$

Здесь показатель степени 5 — нечетное натуральное число.

2. Область определения

Функция определена для всех $x$, так как любое число можно возвести в пятую степень.

$$D(y) = (-\infty; +\infty) = \mathbb{R}$$

3. Множество значений

• Нечетная степень сохраняет знак числа.
• Если $x>0$, то $y>0$
• Если $x<0$, то $y<0$
• Функция принимает все значения от $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$$-\infty$

$$E(y) = \mathbb{R}$$

4. Ограниченность функции

• Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

5. Итоговый ответ$$\boxed{\text{Не ограничена.}}$$

3) $y = x^7$

1. Анализ функции

Функция степенная:

$$y = x^7$$

Здесь показатель степени 7 — нечетное натуральное число.

2. Область определения

Функция определена для всех $x$:

$$D(y) = (-\infty; +\infty) = \mathbb{R}$$

3. Множество значений

• Нечетная степень сохраняет знак числа.
• Если $x>0$, то $y>0$
• Если $x<0$, то $y<0$$$$y < 0$
• Функция принимает все значения от $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$$$

$$E(y) = \mathbb{R}$$

4. Ограниченность функции

• Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

5. Итоговый ответ$$\boxed{\text{Не ограничена.}}$$

4) $y = x^{-2}$

1. Анализ функции

Функция записывается в виде:

$$y = \frac{1}{x^2}$$

Здесь показатель степени -2 — отрицательное четное целое число.

2. Область определения

Функция не определена в точке $x = 0$ (деление на ноль запрещено).

$$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

3. Множество значений

• Так как $x^2$ всегда положительно, $\frac{1}{x^2}$ тоже всегда положительно.
• Функция никогда не принимает нулевое или отрицательное значение.
• Максимума нет, но $y\to +\mathrm{\infty }$ при $x\to 0$
  $y \to +\infty$

$$E(y) = (0; +\infty)$$

4. Ограниченность функции

• Снизу ограничена: $y>0$
• Сверху не ограничена.

5. Итоговый ответ$$\boxed{\text{Ограничена снизу.}}$$

5) $y = x^{-3}$

1. Анализ функции

Функция записывается в виде:

$$y = \frac{1}{x^3}$$

Здесь показатель степени -3 — отрицательное нечетное целое число.

2. Область определения

Функция не определена в точке $x = 0$

$$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

3. Множество значений

• Если $x>0$, то $x^3>0\Rightarrow \frac{1}{x^3}>0$$$
• Если $x<0$, то $x^3<0\Rightarrow \frac{1}{x^3}<0$$$
• При больших $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$, $y\to 0$$y \to 0$
• При $x\to 0$, $y\to \pm \mathrm{\infty }$
  $x \to 0$

$$E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

4. Ограниченность функции

• Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

5. Итоговый ответ$$\boxed{\text{Не ограничена.}}$$

6) $y = x^6$

1. Анализ функции

Функция повторяет случай 1.

$$y = x^6$$

2. Область определения

$$D(y) = \mathbb{R}$$

3. Множество значений

$$E(y) = [0; +\infty)$$

4. Ограниченность функции

• Ограничена снизу: $y\ge 0$
• Не ограничена сверху.

5. Итоговый ответ$$\boxed{\text{Ограничена снизу.}}$$