ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1182 Алимов — Подробные Ответы

В первом ящике находятся 8 белых и 9 чёрных шаров, во втором — 6 белых и 5 чёрных. Наугад из каждого ящика выбирают по одному шару. Найти вероятность того, что: 1) оба шара оказались белыми; 2) оба шара оказались чёрными; 3) из первого ящика извлекли белый шар, а из второго — чёрный; 4) из первого ящика извлекли чёрный, а из второго — белый шар; 5) хотя бы один шар оказался белым; 6) хотя бы один шар оказался чёрным.

В первом ящике находятся 8 белых и 9 черных шаров, а во втором — 6 белых и 5 черных, наугад из каждого ящика вынимают по одному шару:

$$n_1 = 8 + 9 = 17 \quad \text{— шаров в первом ящике};$$ $$n_2 = 6 + 5 = 11 \quad \text{— шаров во втором ящике};$$

Пусть события:

• $A_1, A_2$ — из данного ящика вытащили белый шар;
• $B_1, B_2$ — из данного ящика вытащили черный шар;

1) Вероятность, что оба вынутых шара белые:

$$P(A_1 A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2) = \frac{8}{17} \cdot \frac{6}{11} = \frac{48}{187};$$

Ответ: $\boxed{\frac{48}{187}}$

2) Вероятность, что оба вынутых шара черные:

$$P(B_1 B_2) = P(B_1) \cdot P(B_2) = \frac{9}{17} \cdot \frac{5}{11} = \frac{45}{187};$$

Ответ: $\boxed{\frac{45}{187}}$

3) Вероятность, что из первого ящика извлекли черный шар, а из второго ящика — белый шар:

$$P(A_1 B_2) = P(A_1) \cdot P(B_2) = \frac{8}{17} \cdot \frac{5}{11} = \frac{40}{187};$$

Ответ: $\boxed{\frac{40}{187}}$

4) Вероятность, что из первого ящика извлекли белый шар, а из второго ящика — черный шар:

$$P(B_1 A_2) = P(B_1) \cdot P(A_2) = \frac{9}{17} \cdot \frac{6}{11} = \frac{54}{187};$$

Ответ: $\boxed{\frac{54}{187}}$

5) Вероятность, что хотя бы один шар белый:

$$P = 1 — P(B_1 B_2) = 1 — P(B_1) \cdot P(B_2) = 1 — \frac{9}{17} \cdot \frac{5}{11} = 1 — \frac{45}{187} = \frac{142}{187};$$

Ответ: $\boxed{\frac{142}{187}}$

6) Вероятность, что хотя бы один шар черный:

$$P = 1 — P(A_1 A_2) = 1 — P(A_1) \cdot P(A_2) = 1 — \frac{8}{17} \cdot \frac{6}{11} = 1 — \frac{48}{187} = \frac{139}{187};$$

Ответ: $\boxed{\frac{139}{187}}$

В данной задаче мы рассматриваем два ящика с шарами. В первом ящике 8 белых и 9 черных шаров, а во втором — 6 белых и 5 черных. Наугад из каждого ящика вынимают по одному шару. Необходимо рассчитать вероятность различных событий.

Шаг 1: Общее количество шаров в каждом ящике

В первом ящике находятся 8 белых и 9 черных шаров, всего:

$$n_1 = 8 + 9 = 17 \quad \text{шаров в первом ящике}$$

Во втором ящике находятся 6 белых и 5 черных шаров, всего:

$$n_2 = 6 + 5 = 11 \quad \text{шаров во втором ящике}$$

Теперь, зная количество шаров в каждом ящике, можно переходить к расчету вероятностей.

Шаг 2: Определение вероятностей для событий

Определим следующие события:

• $A_1$ — из первого ящика вытащили белый шар;
• $A_2$ — из второго ящика вытащили белый шар;
• $B_1$ — из первого ящика вытащили черный шар;
• $B_2$ — из второго ящика вытащили черный шар.

Теперь найдем вероятности для каждого события.

Шаг 3: Рассчитаем вероятности для различных событий

1) Вероятность, что оба вынутых шара белые

Для того чтобы оба вынутых шара были белыми, из первого ящика нужно вытащить белый шар, а из второго — тоже белый. Поскольку выбор шаров в обоих ящиках независим, вероятность этого события вычисляется как произведение вероятностей для каждого ящика:

• Вероятность вытащить белый шар из первого ящика:

$$P(A_1) = \frac{8}{17} \quad \text{(8 белых шаров из 17)}$$

• Вероятность вытащить белый шар из второго ящика:

$$P(A_2) = \frac{6}{11} \quad \text{(6 белых шаров из 11)}$$

Теперь, вероятность того, что оба шара будут белыми, равна произведению этих вероятностей:

$$P(A_1 A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2) = \frac{8}{17} \cdot \frac{6}{11} = \frac{48}{187}$$

Ответ: $\boxed{\frac{48}{187}}$

2) Вероятность, что оба вынутых шара черные

Для того чтобы оба вынутых шара были черными, из первого ящика нужно вытащить черный шар, а из второго — тоже черный. Поскольку выбор шаров в обоих ящиках независим, вероятность этого события также вычисляется как произведение вероятностей для каждого ящика:

• Вероятность вытащить черный шар из первого ящика:

$$P(B_1) = \frac{9}{17} \quad \text{(9 черных шаров из 17)}$$

• Вероятность вытащить черный шар из второго ящика:

$$P(B_2) = \frac{5}{11} \quad \text{(5 черных шаров из 11)}$$

Теперь, вероятность того, что оба шара будут черными, равна произведению этих вероятностей:

$$P(B_1 B_2) = P(B_1) \cdot P(B_2) = \frac{9}{17} \cdot \frac{5}{11} = \frac{45}{187}$$

Ответ: $\boxed{\frac{45}{187}}$

3) Вероятность, что один шар белый, а два других черные (из первого ящика — белый, из второго — черный)

В данном случае из первого ящика нужно вытащить белый шар, а из второго — черный. Вероятности для каждого ящика следующие:

• Вероятность вытащить белый шар из первого ящика:

$$P(A_1) = \frac{8}{17}$$

• Вероятность вытащить черный шар из второго ящика:

$$P(B_2) = \frac{5}{11}$$

Теперь, вероятность того, что из первого ящика извлекли белый шар, а из второго — черный, равна произведению этих вероятностей:

$$P(A_1 B_2) = P(A_1) \cdot P(B_2) = \frac{8}{17} \cdot \frac{5}{11} = \frac{40}{187}$$

Ответ: $\boxed{\frac{40}{187}}$

4) Вероятность, что один шар черный, а два других белые (из первого ящика — черный, из второго — белый)

В данном случае из первого ящика нужно вытащить черный шар, а из второго — белый. Вероятности для каждого ящика следующие:

• Вероятность вытащить черный шар из первого ящика:

$$P(B_1) = \frac{9}{17}$$

• Вероятность вытащить белый шар из второго ящика:

$$P(A_2) = \frac{6}{11}$$

Теперь, вероятность того, что из первого ящика извлекли черный шар, а из второго — белый, равна произведению этих вероятностей:

$$P(B_1 A_2) = P(B_1) \cdot P(A_2) = \frac{9}{17} \cdot \frac{6}{11} = \frac{54}{187}$$

Ответ: $\boxed{\frac{54}{187}}$

5) Вероятность, что хотя бы один шар белый

Для того чтобы вычислить вероятность события, что хотя бы один шар белый, можно воспользоваться методом дополнения. Пусть событие $A$ — это, что оба шара черные, тогда дополнение этого события $\overline{A}$ — это событие, что хотя бы один шар белый.

Сначала находим вероятность того, что оба шара черные (событие $A$):

$$P(A) = \frac{45}{187}$$

Теперь находим вероятность события $\overline{A}$ (хотя бы один шар белый):

$$P(\overline{A}) = 1 — P(A) = 1 — \frac{45}{187} = \frac{142}{187}$$

Ответ: $\boxed{\frac{142}{187}}$

6) Вероятность, что хотя бы один шар черный

Для того чтобы вычислить вероятность события, что хотя бы один шар черный, можно воспользоваться методом дополнения. Пусть событие $B$ — это, что оба шара белые, тогда дополнение этого события $\overline{B}$ — это событие, что хотя бы один шар черный.

Сначала находим вероятность того, что оба шара белые (событие $B$):

$$P(B) = \frac{48}{187}$$

Теперь находим вероятность события $\overline{B}$ (хотя бы один шар черный):

$$P(\overline{B}) = 1 — P(B) = 1 — \frac{48}{187} = \frac{139}{187}$$

Ответ: $\boxed{\frac{139}{187}}$

Итоговые ответы:

1. Оба шара белые: $\boxed{\frac{48}{187}}$
2. Оба шара черные: $\boxed{\frac{45}{187}}$
3. Один шар белый, два других черные (из первого ящика белый, из второго — черный): $\boxed{\frac{40}{187}}$
4. Один шар черный, два других белые (из первого ящика черный, из второго — белый): $\boxed{\frac{54}{187}}$
5. Хотя бы один шар белый: $\boxed{\frac{142}{187}}$
6. Хотя бы один шар черный: $\boxed{\frac{139}{187}}$