ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 118 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что корень 3 степени (7+5 корень 2)+ корень 3 степени (7-5 корень 2)=2.

Доказать тождество:

$$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}=2;$$

$$\sqrt[3]{1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{1-3\sqrt{2}+6-2\sqrt{2}}=2;$$

$$\sqrt[3]{1^3+3\cdot 1\cdot \sqrt{2}+3\cdot 2\cdot 1+(\sqrt{2}{)}^3}+\sqrt[3]{1^3-3\cdot 1\cdot \sqrt{2}+3\cdot 2\cdot 1-(\sqrt{2}{)}^3}=2;$$

$$\sqrt[3]{(1+\sqrt{2}{)}^3}+\sqrt[3]{(1-\sqrt{2}{)}^3}=2;$$

$$1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2}=2;$$

$$2=2;$$

Тождество доказано.

Шаг 1: Рассмотрим первое выражение:

$$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}=2$$

Обозначим:

$$x=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$$

Теперь возведем обе части в куб, чтобы избавиться от корней.

$$x^3={(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})}^3$$

Используем формулу для куба суммы:

$$(a+b{)}^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$

Где:

• $a=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}$
• $b=\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$

Тогда:

$$x^3={\left(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}\right)}^3+{\left(\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\right)}^3+$$

$$+3\cdot \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}\cdot \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\cdot (\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})$$

Посмотрим на части этого выражения по отдельности:

1. ${\left(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}\right)}^3=7+5\sqrt{2}$
2. ${\left(\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\right)}^3=7-5\sqrt{2}$
3. Произведение:

$$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}\cdot \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}=\sqrt[3]{(7+5\sqrt{2})\cdot (7-5\sqrt{2})}$$

Используем формулу разности квадратов:

$$(7+5\sqrt{2})(7-5\sqrt{2})=7^2-(5\sqrt{2}{)}^2=49-50=-1$$

Следовательно:

$$\sqrt[3]{(7+5\sqrt{2})\cdot (7-5\sqrt{2})}=\sqrt[3]{-1}=-1$$

Теперь подставим все найденные значения в выражение для $x^3$:

$$x^3=(7+5\sqrt{2})+(7-5\sqrt{2})+3\cdot (-1)\cdot x$$

Упростим:

$$x^3=7+7+3\cdot (-1)\cdot x=14-3x$$

Получаем кубическое уравнение:

$$x^3+3x-14=0$$

Теперь подставим $x=2$ (предположим, что это решение):

$$2^3+3\cdot 2-14=8+6-14=0$$

Это верно, значит $x=2$. Таким образом, доказано, что:

$$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}=2$$

Шаг 2: Рассмотрим второе выражение:

$$\sqrt[3]{1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{1-3\sqrt{2}+6-2\sqrt{2}}=2$$

Упростим выражение под корнями:

$$\sqrt[3]{(1+6)+(3\sqrt{2}+2\sqrt{2})}+\sqrt[3]{(1+6)-(3\sqrt{2}-2\sqrt{2})}$$

$$=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$$

Мы уже доказали, что это выражение равно 2. Следовательно, это тождество также верно.

Шаг 3: Рассмотрим третье выражение:

$$\sqrt[3]{1^3+3\cdot 1\cdot \sqrt{2}+3\cdot 2\cdot 1+(\sqrt{2}{)}^3}+\sqrt[3]{1^3-3\cdot 1\cdot \sqrt{2}+3\cdot 2\cdot 1-(\sqrt{2}{)}^3}=2$$

Упростим выражение под корнями:

$$\sqrt[3]{1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{1-3\sqrt{2}+6-2\sqrt{2}}$$

Это выражение точно такое же, как и во втором шаге, и мы уже доказали, что оно равно 2.

Шаг 4: Рассмотрим четвертое выражение:

$$\sqrt[3]{(1+\sqrt{2}{)}^3}+\sqrt[3]{(1-\sqrt{2}{)}^3}=2$$

Это выражение сводится к предыдущему, поскольку:

$$\sqrt[3]{(1+\sqrt{2}{)}^3}=1+\sqrt{2},\sqrt[3]{(1-\sqrt{2}{)}^3}=1-\sqrt{2}$$

Тогда:

$$1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2}=2$$

Шаг 5: Подведение итогов

Мы доказали, что все равенства верны. Таким образом, тождество доказано:

$$2=2$$

Ответ: Тождество доказано.