ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 118 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Доказать, что корень 3 степени (7+5 корень 2)+ корень 3 степени (7-5 корень 2)=2.

Краткий ответ:

Доказать тождество:

$\sqrt[3]{7 + 5 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5 \sqrt{2}} = 2;$

$\sqrt[3]{1 + 3 \sqrt{2} + 6 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{1 - 3 \sqrt{2} + 6 - 2 \sqrt{2}} = 2;$

$\sqrt[3]{1^{3} + 3 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 2 \cdot 1 + (\sqrt{2})^{3}} + \sqrt[3]{1^{3} - 3 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 2 \cdot 1 - (\sqrt{2})^{3}} = 2;$

$\sqrt[3]{(1 + \sqrt{2})^{3}} + \sqrt[3]{(1 - \sqrt{2})^{3}} = 2;$

$1 + \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} = 2;$

$2 = 2;$

Тождество доказано.

Подробный ответ:

Шаг 1: Рассмотрим первое выражение:

$\sqrt[3]{7 + 5 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5 \sqrt{2}} = 2$

Обозначим:

$x = \sqrt[3]{7 + 5 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5 \sqrt{2}}$

Теперь возведем обе части в куб, чтобы избавиться от корней.

$x^{3} = {(\sqrt[3]{7 + 5 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5 \sqrt{2}})}^{3}$

Используем формулу для куба суммы:

$(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$

Где:

$a = \sqrt[3]{7 + 5 \sqrt{2}}$
$b = \sqrt[3]{7 - 5 \sqrt{2}}$

Тогда:

$x^{3} = {(\sqrt[3]{7 + 5 \sqrt{2}})}^{3} + {(\sqrt[3]{7 - 5 \sqrt{2}})}^{3} +$

$+ 3 \cdot \sqrt[3]{7 + 5 \sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{7 - 5 \sqrt{2}} \cdot (\sqrt[3]{7 + 5 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5 \sqrt{2}})$

Посмотрим на части этого выражения по отдельности:

${(\sqrt[3]{7 + 5 \sqrt{2}})}^{3} = 7 + 5 \sqrt{2}$
${(\sqrt[3]{7 - 5 \sqrt{2}})}^{3} = 7 - 5 \sqrt{2}$
Произведение:

$\sqrt[3]{7 + 5 \sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{7 - 5 \sqrt{2}} = \sqrt[3]{(7 + 5 \sqrt{2}) \cdot (7 - 5 \sqrt{2})}$

Используем формулу разности квадратов:

$(7 + 5 \sqrt{2}) (7 - 5 \sqrt{2}) = 7^{2} - (5 \sqrt{2})^{2} = 49 - 50 = - 1$

Следовательно:

$\sqrt[3]{(7 + 5 \sqrt{2}) \cdot (7 - 5 \sqrt{2})} = \sqrt[3]{- 1} = - 1$

Теперь подставим все найденные значения в выражение для $x^{3}$ :

$x^{3} = (7 + 5 \sqrt{2}) + (7 - 5 \sqrt{2}) + 3 \cdot (- 1) \cdot x$

Упростим:

$x^{3} = 7 + 7 + 3 \cdot (- 1) \cdot x = 14 - 3 x$

Получаем кубическое уравнение:

$x^{3} + 3 x - 14 = 0$

Теперь подставим $x = 2$ (предположим, что это решение):

$2^{3} + 3 \cdot 2 - 14 = 8 + 6 - 14 = 0$

Это верно, значит $x = 2$ . Таким образом, доказано, что:

$\sqrt[3]{7 + 5 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5 \sqrt{2}} = 2$

Шаг 2: Рассмотрим второе выражение:

$\sqrt[3]{1 + 3 \sqrt{2} + 6 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{1 - 3 \sqrt{2} + 6 - 2 \sqrt{2}} = 2$

Упростим выражение под корнями:

$\sqrt[3]{(1 + 6) + (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2})} + \sqrt[3]{(1 + 6) - (3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2})}$

$= \sqrt[3]{7 + 5 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5 \sqrt{2}}$

Мы уже доказали, что это выражение равно 2. Следовательно, это тождество также верно.

Шаг 3: Рассмотрим третье выражение:

$\sqrt[3]{1^{3} + 3 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 2 \cdot 1 + (\sqrt{2})^{3}} + \sqrt[3]{1^{3} - 3 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 2 \cdot 1 - (\sqrt{2})^{3}} = 2$

Упростим выражение под корнями:

$\sqrt[3]{1 + 3 \sqrt{2} + 6 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{1 - 3 \sqrt{2} + 6 - 2 \sqrt{2}}$

Это выражение точно такое же, как и во втором шаге, и мы уже доказали, что оно равно 2.

Шаг 4: Рассмотрим четвертое выражение:

$\sqrt[3]{(1 + \sqrt{2})^{3}} + \sqrt[3]{(1 - \sqrt{2})^{3}} = 2$

Это выражение сводится к предыдущему, поскольку:

$\sqrt[3]{(1 + \sqrt{2})^{3}} = 1 + \sqrt{2}, \sqrt[3]{(1 - \sqrt{2})^{3}} = 1 - \sqrt{2}$

Тогда:

$1 + \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} = 2$

Шаг 5: Подведение итогов

Мы доказали, что все равенства верны. Таким образом, тождество доказано:

$2 = 2$

Ответ: Тождество доказано.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра