ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 118 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что корень 3 степени (7+5 корень 2)+ корень 3 степени (7-5 корень 2)=2.

Доказать тождество:

$$\sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}} = 2;$$

$$\sqrt[3]{1 + 3\sqrt{2} + 6 + 2\sqrt{2}} + \sqrt[3]{1 — 3\sqrt{2} + 6 — 2\sqrt{2}} = 2;$$

$$\sqrt[3]{1^3 + 3 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 2 \cdot 1 + (\sqrt{2})^3} + \sqrt[3]{1^3 — 3 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 2 \cdot 1 — (\sqrt{2})^3} = 2;$$

$$\sqrt[3]{(1 + \sqrt{2})^3} + \sqrt[3]{(1 — \sqrt{2})^3} = 2;$$

$$1 + \sqrt{2} + 1 — \sqrt{2} = 2;$$

$$2 = 2;$$

Тождество доказано.

Шаг 1: Рассмотрим первое выражение:

$$\sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}} = 2$$

Обозначим:

$$x = \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}}$$

Теперь возведем обе части в куб, чтобы избавиться от корней.

$$x^3 = \left( \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}} \right)^3$$

Используем формулу для куба суммы:

$$(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$$

Где:

• 
  $a = \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}}$ 
• 
  $b = \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}}$ 

Тогда:

$$x^3 = \left( \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} \right)^3 + \left( \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}} \right)^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}} \cdot \left( \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}} \right)$$

Посмотрим на части этого выражения по отдельности:

1. 
   $\left( \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} \right)^3 = 7 + 5\sqrt{2}$ 
2. 
   $\left( \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}} \right)^3 = 7 — 5\sqrt{2}$ 
3. Произведение:

$$\sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}} = \sqrt[3]{(7 + 5\sqrt{2}) \cdot (7 — 5\sqrt{2})}$$

Используем формулу разности квадратов:

$$(7 + 5\sqrt{2})(7 — 5\sqrt{2}) = 7^2 — (5\sqrt{2})^2 = 49 — 50 = -1$$

Следовательно:

$$\sqrt[3]{(7 + 5\sqrt{2}) \cdot (7 — 5\sqrt{2})} = \sqrt[3]{-1} = -1$$

Теперь подставим все найденные значения в выражение для

$x^3$

:

$$x^3 = (7 + 5\sqrt{2}) + (7 — 5\sqrt{2}) + 3 \cdot (-1) \cdot x$$

Упростим:

$$x^3 = 7 + 7 + 3 \cdot (-1) \cdot x = 14 — 3x$$

Получаем кубическое уравнение:

$$x^3 + 3x — 14 = 0$$

Теперь подставим

$x = 2$

(предположим, что это решение):

$$2^3 + 3 \cdot 2 — 14 = 8 + 6 — 14 = 0$$

Это верно, значит

$x = 2$

. Таким образом, доказано, что:

$$\sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}} = 2$$

Шаг 2: Рассмотрим второе выражение:

$$\sqrt[3]{1 + 3\sqrt{2} + 6 + 2\sqrt{2}} + \sqrt[3]{1 — 3\sqrt{2} + 6 — 2\sqrt{2}} = 2$$

Упростим выражение под корнями:

$$\sqrt[3]{(1 + 6) + (3\sqrt{2} + 2\sqrt{2})} + \sqrt[3]{(1 + 6) — (3\sqrt{2} — 2\sqrt{2})}$$

$$= \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}}$$

Мы уже доказали, что это выражение равно 2. Следовательно, это тождество также верно.

Шаг 3: Рассмотрим третье выражение:

$$\sqrt[3]{1^3 + 3 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 2 \cdot 1 + (\sqrt{2})^3} + \sqrt[3]{1^3 — 3 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 2 \cdot 1 — (\sqrt{2})^3} = 2$$

Упростим выражение под корнями:

$$\sqrt[3]{1 + 3\sqrt{2} + 6 + 2\sqrt{2}} + \sqrt[3]{1 — 3\sqrt{2} + 6 — 2\sqrt{2}}$$

Это выражение точно такое же, как и во втором шаге, и мы уже доказали, что оно равно 2.

Шаг 4: Рассмотрим четвертое выражение:

$$\sqrt[3]{(1 + \sqrt{2})^3} + \sqrt[3]{(1 — \sqrt{2})^3} = 2$$

Это выражение сводится к предыдущему, поскольку:

$$\sqrt[3]{(1 + \sqrt{2})^3} = 1 + \sqrt{2}, \quad \sqrt[3]{(1 — \sqrt{2})^3} = 1 — \sqrt{2}$$

Тогда:

$$1 + \sqrt{2} + 1 — \sqrt{2} = 2$$

Шаг 5: Подведение итогов

Мы доказали, что все равенства верны. Таким образом, тождество доказано:

$$2 = 2$$

Ответ: Тождество доказано.