ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1179 Алимов — Подробные Ответы

В коробке лежат б белых и 7 чёрных шаров. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность события: 1) оба шара белые; 2) оба шара чёрные; 3) один шар белый, другой чёрный; 4) по крайней мере один шар белый; 5) по крайней мере один шар чёрный.

В коробке лежат 6 белых и 7 черных шаров, наугад вынимают 2 шара.

$$n = C_{6+7}^2 = C_{13}^2 = \frac{13!}{(13-2)! \cdot 2!} = \frac{13!}{11! \cdot 2} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11!}{11! \cdot 2} = 13 \cdot 6 = 78;$$

1) Вероятность, что оба шара белого цвета:

$$m = C_6^2 = \frac{6!}{(6-2)! \cdot 2!} = \frac{6!}{4! \cdot 2} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2} = 3 \cdot 5 = 15;$$ $$P = \frac{m}{n} = \frac{15}{78} = \frac{5}{26};$$

Ответ: $\frac{5}{26}$.

2) Вероятность, что оба шара черного цвета:

$$m = C_7^2 = \frac{7!}{(7-2)! \cdot 2!} = \frac{7!}{5! \cdot 2} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 2} = 7 \cdot 3 = 21;$$ $$P = \frac{m}{n} = \frac{21}{78} = \frac{7}{26};$$

Ответ: $\frac{7}{26}$.

3) Вероятность, что один шар белый, другой черный:

$$m = C_6^1 \cdot C_7^1 = \frac{6!}{(6-1)! \cdot 1!} \cdot \frac{7!}{(7-1)! \cdot 1!} = \frac{6!}{5! \cdot 1} \cdot \frac{7!}{6! \cdot 1} = 6 \cdot 7 = 42;$$ $$P = \frac{m}{n} = \frac{42}{78} = \frac{7}{13};$$

Ответ: $\frac{7}{13}$.

4) Вероятность, что по крайней мере один шар белый:

Пусть событие $A$ — оба шара черные, тогда $\overline{A}$ — искомое событие:

$$m = C_7^2 = \frac{7!}{(7-2)! \cdot 2!} = \frac{7!}{5! \cdot 2} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 2} = 7 \cdot 3 = 21;$$ $$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{21}{78} = \frac{7}{26};$$ $$P(\overline{A}) = 1 — P(A) = 1 — \frac{21}{78} = 1 — \frac{7}{26} = \frac{19}{26};$$

Ответ: $\frac{19}{26}$.

5) Вероятность, что по крайней мере один шар черный:

Пусть событие $A$ — оба шара белые, тогда $\overline{A}$ — искомое событие:

$$m = C_6^2 = \frac{6!}{(6-2)! \cdot 2!} = \frac{6!}{4! \cdot 2} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2} = 3 \cdot 5 = 15;$$ $$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{15}{78} = \frac{5}{26};$$ $$P(\overline{A}) = 1 — P(A) = 1 — \frac{15}{78} = 1 — \frac{5}{26} = \frac{21}{26};$$

Ответ: $\frac{21}{26}$.

В коробке лежат 6 белых и 7 черных шаров, наугад вынимают 2 шара. Мы будем использовать формулу для сочетаний (комбинаций), чтобы найти количество способов выбора шаров, и затем рассчитаем вероятности для различных событий.

Общее количество шаров в коробке:

$$n_{\text{общее}} = 6 + 7 = 13$$

Общее количество способов выбрать 2 шара из 13 можно вычислить с помощью сочетаний:

$$n = C_{13}^2 = \frac{13!}{(13-2)! \cdot 2!} = \frac{13 \cdot 12}{2} = 78$$

Теперь, на основе этого общего числа, вычислим вероятности для каждого из событий.

1) Вероятность, что оба шара белого цвета

Для того чтобы оба шара были белыми, нам нужно выбрать 2 белых шара из 6. Количество способов выбрать 2 белых шара из 6 можно вычислить с помощью сочетания:

$$m = C_6^2 = \frac{6!}{(6-2)! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$$

Теперь находим вероятность того, что оба выбранных шара белые:

$$P = \frac{m}{n} = \frac{15}{78} = \frac{5}{26}$$

Ответ: $\frac{5}{26}$

2) Вероятность, что оба шара черного цвета

Для того чтобы оба шара были черными, нам нужно выбрать 2 черных шара из 7. Количество способов выбрать 2 черных шара из 7:

$$m = C_7^2 = \frac{7!}{(7-2)! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$$

Теперь находим вероятность того, что оба выбранных шара черные:

$$P = \frac{m}{n} = \frac{21}{78} = \frac{7}{26}$$

Ответ: $\frac{7}{26}$

3) Вероятность, что один шар белый, другой черный

Для этого события нам нужно выбрать 1 белый шар из 6 и 1 черный шар из 7. Количество способов это сделать:

$$m = C_6^1 \cdot C_7^1 = 6 \cdot 7 = 42$$

Теперь находим вероятность того, что один шар белый, а другой черный:

$$P = \frac{m}{n} = \frac{42}{78} = \frac{7}{13}$$

Ответ: $\frac{7}{13}$

4) Вероятность, что по крайней мере один шар белый

Для этого события можно использовать метод дополнения. Пусть событие $A$ — это событие, что оба шара черные. Тогда дополнение события $A$ ($\overline{A}$) — это событие, что хотя бы один шар белый.

Сначала находим количество благоприятных исходов для того, чтобы оба шара были черными (это событие $A$), которое мы рассчитывали в пункте 2:

$$m = C_7^2 = 21$$

Теперь находим вероятность события $A$ (оба шара черные):

$$P(A) = \frac{21}{78} = \frac{7}{26}$$

Теперь находим вероятность события $\overline{A}$ (по крайней мере один шар белый):

$$P(\overline{A}) = 1 — P(A) = 1 — \frac{7}{26} = \frac{19}{26}$$

Ответ: $\frac{19}{26}$

5) Вероятность, что по крайней мере один шар черный

Для этого события также можно использовать метод дополнения. Пусть событие $B$ — это событие, что оба шара белые. Тогда дополнение события $B$ ($\overline{B}$) — это событие, что хотя бы один шар черный.

Сначала находим количество благоприятных исходов для того, чтобы оба шара были белыми (это событие $B$), которое мы рассчитывали в пункте 1:

$$m = C_6^2 = 15$$

Теперь находим вероятность события $B$ (оба шара белые):

$$P(B) = \frac{15}{78} = \frac{5}{26}$$

Теперь находим вероятность события $\overline{B}$ (по крайней мере один шар черный):

$$P(\overline{B}) = 1 — P(B) = 1 — \frac{5}{26} = \frac{21}{26}$$

Ответ: $\frac{21}{26}$

Итоговые ответы:

1. Оба шара белые: $\frac{5}{26}$
2. Оба шара черные: $\frac{7}{26}$
3. Один шар белый, другой черный: $\frac{7}{13}$
4. По крайней мере один шар белый: $\frac{19}{26}$
5. По крайней мере один шар черный: $\frac{21}{26}$