ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1178 Алимов — Подробные Ответы

В коробке лежат 5 белых и 6 чёрных шаров. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность события: 1) оба шара белого цвета; 2) оба шара чёрного цвета; 3) один шар белый, другой чёрный; 4) по крайней мере один шар белый; 5) по крайней мере один шар чёрный.

В коробке лежат 5 белых и 6 черных шаров, наугад вынимают 2 шара.

$$n = C_{5+6}^2 = C_{11}^2 = \frac{11!}{(11-2)! \cdot 2!} = \frac{11!}{9! \cdot 2} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9!}{9! \cdot 2} = 11 \cdot 5 = 55;$$

1) Вероятность, что оба шара белого цвета:

$$m = C_5^2 = \frac{5!}{(5-2)! \cdot 2!} = \frac{5!}{3! \cdot 2} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{4! \cdot 2} = 5 \cdot 2 = 10;$$ $$P = \frac{m}{n} = \frac{10}{55} = \frac{2}{11};$$

Ответ: $\frac{2}{11}$.

2) Вероятность, что оба шара черного цвета:

$$m = C_6^2 = \frac{6!}{(6-2)! \cdot 2!} = \frac{6!}{4! \cdot 2} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2} = 3 \cdot 5 = 15;$$ $$P = \frac{m}{n} = \frac{15}{55} = \frac{3}{11};$$

Ответ: $\frac{3}{11}$.

3) Вероятность, что один шар белый, другой черный:

$$m = C_5^1 \cdot C_6^1 = \frac{5!}{(5-1)! \cdot 1!} \cdot \frac{6!}{(6-1)! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4!}{4!} \cdot \frac{6 \cdot 5!}{5!} = 5 \cdot 6 = 30;$$ $$P = \frac{m}{n} = \frac{30}{55} = \frac{6}{11};$$

Ответ: $\frac{6}{11}$.

4) Вероятность, что по крайней мере один шар белый:

Пусть событие $A$ — оба шара черные, тогда $\overline{A}$ — искомое событие:

$$m = C_6^2 = \frac{6!}{(6-2)! \cdot 2!} = \frac{6!}{4! \cdot 2} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2} = 3 \cdot 5 = 15;$$ $$P(\overline{A}) = 1 — P(A) = 1 — \frac{m}{n} = 1 — \frac{15}{55} = 1 — \frac{3}{11} = \frac{8}{11};$$

Ответ: $\frac{8}{11}$.

5) Вероятность, что по крайней мере один шар черный:

Пусть событие $A$ — оба шара белые, тогда $\overline{A}$ — искомое событие:

$$m = C_5^2 = \frac{5!}{(5-2)! \cdot 2!} = \frac{5!}{3! \cdot 2} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{4! \cdot 2} = 5 \cdot 2 = 10;$$ $$P(\overline{A}) = 1 — P(A) = 1 — \frac{m}{n} = 1 — \frac{10}{55} = 1 — \frac{2}{11} = \frac{9}{11};$$

Ответ: $\frac{9}{11}$.

В коробке лежат 5 белых и 6 черных шаров. Наугад вынимают 2 шара. Нужно найти вероятность различных событий. Мы будем использовать теорию вероятностей и понятие сочетаний (комбинаций), так как количество шаров в коробке фиксировано и мы выбираем 2 шара.

Общее количество шаров в коробке:

$$n_{\text{общее}} = 5 + 6 = 11$$

Когда мы выбираем 2 шара из 11, количество возможных исходов вычисляется с помощью формулы для сочетаний:

$$n = C_{11}^2 = \frac{11!}{(11-2)! \cdot 2!} = \frac{11!}{9! \cdot 2!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9!}{9! \cdot 2} = 55$$

Теперь давайте подробно разберем каждый случай.

1) Вероятность, что оба шара белого цвета

Для того чтобы оба шара были белыми, нам нужно выбрать 2 белых шара из 5. Количество способов выбрать 2 белых шара из 5 можно вычислить с помощью сочетания:

$$m = C_5^2 = \frac{5!}{(5-2)! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$$

Теперь находим вероятность того, что оба выбранных шара белые:

$$P = \frac{m}{n} = \frac{10}{55} = \frac{2}{11}$$

Ответ: $\frac{2}{11}$

2) Вероятность, что оба шара черного цвета

Для того чтобы оба шара были черными, нам нужно выбрать 2 черных шара из 6. Количество способов выбрать 2 черных шара из 6:

$$m = C_6^2 = \frac{6!}{(6-2)! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$$

Теперь находим вероятность того, что оба выбранных шара черные:

$$P = \frac{m}{n} = \frac{15}{55} = \frac{3}{11}$$

Ответ: $\frac{3}{11}$

3) Вероятность, что один шар белый, другой черный

Для этого события нам нужно выбрать 1 белый шар из 5 и 1 черный шар из 6. Количество способов сделать это:

$$m = C_5^1 \cdot C_6^1 = \frac{5!}{(5-1)! \cdot 1!} \cdot \frac{6!}{(6-1)! \cdot 1!} = 5 \cdot 6 = 30$$

Теперь находим вероятность того, что один шар белый, а другой черный:

$$P = \frac{m}{n} = \frac{30}{55} = \frac{6}{11}$$

Ответ: $\frac{6}{11}$

4) Вероятность, что по крайней мере один шар белый

Для этого события можно использовать метод дополнения. Пусть событие $A$ — это, что оба шара черные, тогда $\overline{A}$ (дополнение события $A$) — это событие, что хотя бы один шар белый.

Сначала найдем количество благоприятных исходов для того, чтобы оба шара были черными, что уже рассчитывалось в пункте 2:

$$m = C_6^2 = 15$$

Теперь находим вероятность того, что оба шара черные:

$$P(A) = \frac{15}{55} = \frac{3}{11}$$

Теперь находим вероятность события $\overline{A}$ (по крайней мере один шар белый):

$$P(\overline{A}) = 1 — P(A) = 1 — \frac{3}{11} = \frac{8}{11}$$

Ответ: $\frac{8}{11}$

5) Вероятность, что по крайней мере один шар черный

Для этого события также можно использовать метод дополнения. Пусть событие $B$ — это, что оба шара белые, тогда $\overline{B}$ (дополнение события $B$) — это событие, что хотя бы один шар черный.

Сначала найдем количество благоприятных исходов для того, чтобы оба шара были белыми, что уже рассчитывалось в пункте 1:

$$m = C_5^2 = 10$$

Теперь находим вероятность того, что оба шара белые:

$$P(B) = \frac{10}{55} = \frac{2}{11}$$

Теперь находим вероятность события $\overline{B}$ (по крайней мере один шар черный):

$$P(\overline{B}) = 1 — P(B) = 1 — \frac{2}{11} = \frac{9}{11}$$

Ответ: $\frac{9}{11}$

Итоговые ответы:

1. Оба шара белого цвета: $\frac{2}{11}$
2. Оба шара черного цвета: $\frac{3}{11}$
3. Один шар белый, другой черный: $\frac{6}{11}$
4. По крайней мере один шар белый: $\frac{8}{11}$
5. По крайней мере один шар черный: $\frac{9}{11}$