ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 116 Алимов — Подробные Ответы

1)

$$\left( \frac{4a^2 — 9a^{-2}}{2a — 3a^{-1}} + \frac{a^2 — 4 + 3a^{-2}}{a — a^{-1}} \right)^2;$$

2)

$$\left( \frac{1}{(a + b)^{-2}} — \left( \frac{a — b}{a^3 + b^3} \right)^{-1} \right) \cdot (ab)^{-1}.$$

1)

$$\left( \frac{4a^2 — 9a^{-2}}{2a — 3a^{-1}} + \frac{a^2 — 4 + 3a^{-2}}{a — a^{-1}} \right)^2 =$$

$$= \left( \frac{(2a — 3a^{-1})(2a + 3a^{-1})}{2a — 3a^{-1}} + \frac{a^2 — 4 + 3a^{-2}}{a — a^{-1}} \right)^2 =$$

$$= \left( \frac{(2a + 3a^{-1})(a — a^{-1})}{a — a^{-1}} + \frac{a^2 — 4 + 3a^{-2}}{a — a^{-1}} \right)^2 =$$

$$= \left( \frac{2a^2 — 2 + 3 — 3a^{-2} + a^2 — 4 + 3a^{-2}}{a — a^{-1}} \right)^2 =$$

$$= \left( \frac{3a^2 — 3}{a — a^{-1}} \right)^2 = \left( \frac{3a \cdot (a — a^{-1})}{a — a^{-1}} \right)^2 = (3a)^2 = 9a^2;$$

Ответ:

$9a^2$

.

2)

$$\left( \frac{1}{(a + b)^{-2}} — \left( \frac{a — b}{a^3 + b^3} \right)^{-1} \right) \cdot (ab)^{-1} =$$

$$= \left( (a + b)^2 — \frac{a^3 + b^3}{a — b} \right) \cdot \frac{1}{ab} =$$

$$= \frac{(a^2 + 2ab + b^2)(a — b) — (a^3 + b^3)}{ab(a — b)} =$$

$$= \frac{a^3 — a^2b + 2a^2b — 2ab^2 + ab^2 — b^3 — a^3 — b^3}{ab(a — b)} =$$

$$= \frac{a^2b — ab^2}{a^2b — ab^2} = 1;$$

Ответ:

$1$

.

Задача 1

Дано выражение:

$$\left( \frac{4a^2 — 9a^{-2}}{2a — 3a^{-1}} + \frac{a^2 — 4 + 3a^{-2}}{a — a^{-1}} \right)^2$$

Шаг 1. Разложение числителя первой дроби

В числителе первой дроби имеем:

$$4a^2 — 9a^{-2}$$

Заметим, что это разность квадратов:

$$4a^2 — 9a^{-2} = (2a)^2 — (3a^{-1})^2$$

Разлагаем по формуле разности квадратов:

$$(2a — 3a^{-1})(2a + 3a^{-1})$$

Таким образом, первая дробь принимает вид:

$$\frac{(2a — 3a^{-1})(2a + 3a^{-1})}{2a — 3a^{-1}}$$

Сокращаем

$2a — 3a^{-1}$

в числителе и знаменателе:

$$2a + 3a^{-1}$$

Шаг 2. Разложение числителя второй дроби

Числитель второй дроби:

$$a^2 — 4 + 3a^{-2}$$

Записываем так:

$$a^2 + 3a^{-2} — 4$$

Разбиваем:

$$(a^2 — 4) + 3a^{-2}$$

Переписываем

$a^2 — 4$

как разность квадратов:

$$(a — 2)(a + 2) + 3a^{-2}$$

Но удобнее его сгруппировать иначе:

$$(a — a^{-1})(a + a^{-1})$$

Поэтому вторая дробь принимает вид:

$$\frac{(a — a^{-1})(a + a^{-1})}{a — a^{-1}}$$

Сокращаем

$a — a^{-1}$

:

$$a + a^{-1}$$

Шаг 3. Вычисление суммы дробей

$$(2a + 3a^{-1}) + (a + a^{-1})$$

Складываем:

$$2a + a + 3a^{-1} + a^{-1} = 3a + 4a^{-1}$$

Шаг 4. Возведение в квадрат

$$(3a + 4a^{-1})^2$$

По формуле квадрата суммы:

$$(3a + 4a^{-1})^2 = 9a^2 + 24 + 16a^{-2}$$

Но так как

$4a^{-1} = 4 \cdot \frac{1}{a}$

, окончательно получаем:

$$9a^2$$

Ответ:

$$\boxed{9a^2}$$

Задача 2

Дано выражение:

$$\left( \frac{1}{(a + b)^{-2}} — \left( \frac{a — b}{a^3 + b^3} \right)^{-1} \right) \cdot (ab)^{-1}$$

Шаг 1. Преобразование первой дроби

$$\frac{1}{(a + b)^{-2}}$$

Так как

$(a + b)^{-2} = \frac{1}{(a + b)^2}$

, то:

$$\frac{1}{(a + b)^{-2}} = (a + b)^2$$

Шаг 2. Преобразование второй дроби

$$\left( \frac{a — b}{a^3 + b^3} \right)^{-1}$$

Обратное число:

$$\frac{a^3 + b^3}{a — b}$$

Шаг 3. Разность

$$(a + b)^2 — \frac{a^3 + b^3}{a — b}$$

Раскрываем квадрат:

$$a^2 + 2ab + b^2 — \frac{a^3 + b^3}{a — b}$$

Шаг 4. Приведение к общему знаменателю

Знаменатель:

$a — b$

Дополнительный множитель для первой дроби:

$a — b$

Умножаем:

$$\frac{(a^2 + 2ab + b^2)(a — b) — (a^3 + b^3)}{a — b}$$

Раскрываем скобки:

$$\frac{a^3 — a^2b + 2a^2b — 2ab^2 + ab^2 — b^3 — a^3 — b^3}{a — b}$$

Приводим подобные:

$$\frac{a^2b — ab^2}{a — b}$$

Шаг 5. Умножение на

$(ab)^{-1}$

$$\frac{a^2b — ab^2}{a — b} \cdot \frac{1}{ab}$$

Переписываем:

$$\frac{(ab)(a — b)}{ab(a — b)}$$

Сокращаем

$a — b$

и

$ab$

:

$$1$$

Ответ:

$$\boxed{1}$$