ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1150 Алимов — Подробные Ответы

В первой партии из 20 деталей 6 нестандартных, а во второй партии из 30 деталей 5 нестандартных. Наугад из каждой партии изымают по одной детали. Найти вероятность того, что: 1) обе детали оказались нестандартными; 2) обе детали оказались стандартными; 3) хотя бы одна деталь оказалась стандартной; 4) хотя бы одна деталь оказалась нестандартной

В первой партии из 20 деталей 6 нестандартных, а во второй партии из 30 деталей 5 нестандартных, наугад из каждой партии изымают по одной детали;

Пусть события:

• $A$ — деталь из первой партии оказалась нестандартной;
• $B$ — деталь из второй партии оказалась нестандартной;

1) Вероятность, что обе детали оказались нестандартными:

$$P(A) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}, \quad P(B) = \frac{5}{30} = \frac{1}{6};$$ $$P(AB) = P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{10 \cdot 2} = \frac{1}{20};$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{20}}$.

2) Вероятность, что обе детали оказались стандартными:

$$P(\overline{A}) = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}, \quad P(\overline{B}) = \frac{25}{30} = \frac{5}{6};$$ $$P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = \frac{7}{10} \cdot \frac{5}{6} = \frac{7}{2 \cdot 6} = \frac{7}{12};$$

Ответ: $\boxed{\frac{7}{12}}$.

3) Вероятность, что хотя бы одна деталь оказалась стандартной:

$$P(A) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}, \quad P(B) = \frac{5}{30} = \frac{1}{6};$$ $$P(AB) = P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{10 \cdot 2} = \frac{1}{20};$$ $$P = 1 — P(AB) = 1 — \frac{1}{20} = \frac{19}{20};$$

Ответ: $\boxed{\frac{19}{20}}$.

4) Вероятность, что хотя бы одна деталь оказалась нестандартной:

$$P(\overline{A}) = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}, \quad P(\overline{B}) = \frac{25}{30} = \frac{5}{6};$$ $$P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = \frac{7}{10} \cdot \frac{5}{6} = \frac{7}{2 \cdot 6} = \frac{7}{12};$$ $$P = 1 — P(\overline{A}\overline{B}) = 1 — \frac{7}{12} = \frac{5}{12};$$

Ответ: $\boxed{\frac{5}{12}}$.

В первой партии из 20 деталей 6 нестандартных, а во второй партии из 30 деталей 5 нестандартных. Наугад из каждой партии изымают по одной детали.

• Первая партия: 20 деталей, 6 из которых нестандартные, то есть $P(A) = \frac{6}{20}$ — вероятность того, что деталь из первой партии нестандартная.
• Вторая партия: 30 деталей, 5 из которых нестандартные, то есть $P(B) = \frac{5}{30}$ — вероятность того, что деталь из второй партии нестандартная.

Пусть события:

• $A$ — деталь из первой партии оказалась нестандартной;
• $B$ — деталь из второй партии оказалась нестандартной.

Нам нужно найти вероятность для следующих случаев:

1. Обе детали оказались нестандартными.
2. Обе детали оказались стандартными.
3. Хотя бы одна деталь оказалась стандартной.
4. Хотя бы одна деталь оказалась нестандартной.

1) Вероятность, что обе детали оказались нестандартными

Для того, чтобы обе детали оказались нестандартными, необходимо, чтобы событие $A$ (нестандартная деталь из первой партии) и событие $B$ (нестандартная деталь из второй партии) произошло одновременно. Поскольку эти события независимы (выбор деталей из разных партий), то вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$$

Подставим значения:

$$P(A) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}, \quad P(B) = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$$ $$P(AB) = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$$

Ответ: Вероятность, что обе детали окажутся нестандартными, равна $\boxed{\frac{1}{20}}$.

2) Вероятность, что обе детали оказались стандартными

Чтобы обе детали оказались стандартными, необходимо, чтобы событие $\overline{A}$ (стандартная деталь из первой партии) и событие $\overline{B}$ (стандартная деталь из второй партии) произошло одновременно. Вероятности стандартных деталей можно вычислить как дополнение к вероятностям нестандартных деталей:

$$P(\overline{A}) = 1 — P(A) = 1 — \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$$ $$P(\overline{B}) = 1 — P(B) = 1 — \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$

Теперь находим вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, используя аналогичную формулу для независимых событий:

$$P(\overline{A} \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$$

Подставим значения:

$$P(\overline{A} \overline{B}) = \frac{7}{10} \cdot \frac{5}{6} = \frac{35}{60} = \frac{7}{12}$$

Ответ: Вероятность, что обе детали окажутся стандартными, равна $\boxed{\frac{7}{12}}$.

3) Вероятность, что хотя бы одна деталь оказалась стандартной

Для того чтобы хотя бы одна деталь оказалась стандартной, можно воспользоваться дополнением к событию, что обе детали окажутся нестандартными. Это событие можно выразить через вероятность, что обе детали нестандартные, и затем вычесть его из 1:

$$P(\text{хотя бы одна стандартная}) = 1 — P(\text{обе нестандартные}) = 1 — P(AB)$$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $P(AB) = \frac{1}{20}$. Следовательно:

$$P(\text{хотя бы одна стандартная}) = 1 — \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$$

Ответ: Вероятность, что хотя бы одна деталь окажется стандартной, равна $\boxed{\frac{19}{20}}$.

4) Вероятность, что хотя бы одна деталь оказалась нестандартной

Для того чтобы хотя бы одна деталь оказалась нестандартной, можно использовать дополнение к событию, что обе детали стандартные:

$$P(\text{хотя бы одна нестандартная}) = 1 — P(\text{обе стандартные}) = 1 — P(\overline{A} \overline{B})$$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $P(\overline{A} \overline{B}) = \frac{7}{12}$. Следовательно:

$$P(\text{хотя бы одна нестандартная}) = 1 — \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$$

Ответ: Вероятность, что хотя бы одна деталь окажется нестандартной, равна $\boxed{\frac{5}{12}}$.

Итоговые ответы:

1. Вероятность, что обе детали окажутся нестандартными: $\boxed{\frac{1}{20}}$
2. Вероятность, что обе детали окажутся стандартными: $\boxed{\frac{7}{12}}$
3. Вероятность, что хотя бы одна деталь окажется стандартной: $\boxed{\frac{19}{20}}$
4. Вероятность, что хотя бы одна деталь окажется нестандартной: $\boxed{\frac{5}{12}}$