ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 115 Алимов — Подробные Ответы

1)

$$\left( \frac{\frac{4}{a^3} b + \frac{4}{a} b^3}{\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{b^3}} \right)^3;$$

2)

$$\frac{\frac{1}{a^3} — \frac{1}{b^8}}{\sqrt[3]{ab}} \cdot \frac{ab^3 — a^3 b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}};$$

3)

$$\frac{\frac{2}{a^3} — \frac{2}{b^3}}{a^3 — b^3} \cdot \frac{a^8 + \sqrt[3]{ab} + b^3}{a — b};$$

4)

$$\frac{\frac{4}{a^3} — \frac{4}{b^3}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} \cdot \frac{a^8 — \sqrt[3]{a^2 b^2} + b^3}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}};$$

1)

$$\left( \frac{\frac{4}{a^3} b + \frac{4}{a} b^3}{\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{b^3}} \right)^3 = \left( \frac{ab \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} \right)}{\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{b^3}} \right)^3 =$$

$$= \left( a^{1 — \frac{1}{3}} \cdot b^{1 — \frac{1}{3}} \right)^3 = \left( a^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{2}{3}} \right)^3 = a^2 b^2;$$

Ответ:

$a^2 b^2$

.

2)

$$\frac{\frac{1}{a^3} — \frac{1}{b^8}}{\sqrt[3]{ab}} \cdot \frac{ab^3 — a^3 b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = \frac{\frac{1}{a^3} — \frac{1}{b^3}}{\frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{b^3}} \cdot \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} \cdot \left( a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}} \right)}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} =$$

$$= \frac{\left( a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}} \right) \left( a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} \right)}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} = \left( a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}} \right)^2 = \left( \sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b} \right)^2;$$

Ответ:

$\left( \sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b} \right)^2$

.

3)

$$\frac{\frac{2}{a^3} — \frac{2}{b^3}}{\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3}} \cdot \frac{a^8 + \sqrt[3]{ab} + b^3}{a — b} = \frac{\left( a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}} \right) \left( a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} \right)}{\left( a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} \right) \cdot (a — b)} =$$

$$= \frac{\left( a^{\frac{1}{3}} \right)^3 — \left( b^{\frac{1}{3}} \right)^3}{a — b} = \frac{a — b}{a — b} = 1;$$

Ответ:

$1$

.

4)

$$\frac{\frac{4}{a^3} — \frac{4}{b^3}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} \cdot \frac{a^8 — \sqrt[3]{a^2 b^2} + b^3}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = \frac{\left( a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}} \right) \left( a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} \right) \cdot \left( a^{\frac{4}{3}} — a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{4}{3}} \right)}{\left( a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} \right)} =$$

$$= \frac{\left( a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}} \right) \cdot \left( \left( a^{\frac{2}{3}} \right)^3 + \left( b^{\frac{2}{3}} \right)^3 \right)}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} = a^2 + b^2;$$

Ответ:

$a^2 + b^2$

.

1)

Рассмотрим выражение:

$$\left( \frac{\frac{4}{a^3} b + \frac{4}{a} b^3}{\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{b^3}} \right)^3.$$

Упростим числитель первой дроби:

$$\frac{4}{a^3} b + \frac{4}{a} b^3 = \frac{4b}{a^3} + \frac{4b^3}{a}.$$

Упростим знаменатель первой дроби:

$$\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} = \frac{b^3 + a^3}{a^3 b^3}.$$

Таким образом, выражение примет вид:

$$\frac{\frac{4b}{a^3} + \frac{4b^3}{a}}{\frac{b^3 + a^3}{a^3 b^3}} = \left( \frac{4b}{a^3} + \frac{4b^3}{a} \right) \cdot \frac{a^3 b^3}{a^3 + b^3}.$$

Упростим выражение

$\frac{1}{\frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{b^3}}$

:

$$\frac{1}{\frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{b^3}} = a^3 b^3.$$

Теперь мы имеем:

$$\left( \left( \frac{4b}{a^3} + \frac{4b^3}{a} \right) \cdot \frac{a^3 b^3}{a^3 + b^3} \cdot a^3 b^3 \right)^3.$$

Упростим первую часть выражения, выделив

$ab$

:

$$\left( \frac{ab \left( a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} \right)}{\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{b^3}} \right)^3.$$

Упрощаем, используя степени и выражаем:

$$\left( a^{1 — \frac{1}{3}} \cdot b^{1 — \frac{1}{3}} \right)^3 = \left( a^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{2}{3}} \right)^3 = a^2 b^2.$$

Ответ:

$a^2 b^2$

.

2)

Рассмотрим следующее выражение:

$$\frac{\frac{1}{a^3} — \frac{1}{b^8}}{\sqrt[3]{ab}} \cdot \frac{ab^3 — a^3 b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}.$$

Упростим первую дробь:

$$\frac{1}{a^3} — \frac{1}{b^8} = \frac{b^8 — a^3}{a^3 b^8}.$$

Упростим вторую дробь:

$$\frac{ab^3 — a^3 b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}.$$

Используем разность квадратов в числителе:

$$ab^3 — a^3 b = b \cdot (a^2 — ab^2).$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{\frac{b^8 — a^3}{a^3 b^8}}{\sqrt[3]{ab}} \cdot \frac{b \cdot (a^2 — ab^2)}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}.$$

Объединяем все множители:

$$\frac{\left( a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}} \right) \left( a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} \right)}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} = \left( a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}} \right)^2.$$

Ответ:

$\left( \sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b} \right)^2$

.

3)

Рассмотрим выражение:

$$\frac{\frac{2}{a^3} — \frac{2}{b^3}}{\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3}} \cdot \frac{a^8 + \sqrt[3]{ab} + b^3}{a — b}.$$

Упростим дробь в числителе:

$$\frac{2}{a^3} — \frac{2}{b^3} = \frac{2(b^3 — a^3)}{a^3 b^3}.$$

Упростим дробь в знаменателе:

$$\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} = \frac{a^3 + b^3}{a^3 b^3}.$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{\frac{2(b^3 — a^3)}{a^3 b^3}}{\frac{a^3 + b^3}{a^3 b^3}} = \frac{2(b^3 — a^3)}{a^3 + b^3}.$$

Теперь рассмотри второй множитель:

$$\frac{a^8 + \sqrt[3]{ab} + b^3}{a — b}.$$

Используем разность кубов в числителе:

$$a^8 + \sqrt[3]{ab} + b^3 = (a — b) \cdot \left( a^7 + a^6 b + \cdots + b^7 \right).$$

После упрощения:

$$\frac{\left( a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}} \right) \left( a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} \right)}{\left( a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} \right) \cdot (a — b)}.$$

Упростим, используя формулу для разности кубов:

$$\frac{a — b}{a — b} = 1.$$

Ответ:

$1$

.

4)

Рассмотрим выражение:

$$\frac{\frac{4}{a^3} — \frac{4}{b^3}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} \cdot \frac{a^8 — \sqrt[3]{a^2 b^2} + b^3}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}.$$

Упростим числитель первой дроби:

$$\frac{4}{a^3} — \frac{4}{b^3} = \frac{4(b^3 — a^3)}{a^3 b^3}.$$

Упростим знаменатель первой дроби:

$$\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b} = a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}.$$

Рассмотрим вторую дробь:

$$\frac{a^8 — \sqrt[3]{a^2 b^2} + b^3}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}.$$

Используем разность кубов для упрощения:

$$a^8 — \sqrt[3]{a^2 b^2} + b^3 = (a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}) \cdot (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}).$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{\left( a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}} \right) \left( a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} \right) \cdot \left( a^{\frac{4}{3}} — a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{4}{3}} \right)}{\left( a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} \right)}.$$

Упростим, используя разность кубов:

$$\frac{\left( a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}} \right) \cdot \left( \left( a^{\frac{2}{3}} \right)^3 + \left( b^{\frac{2}{3}} \right)^3 \right)}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} = a^2 + b^2.$$

Ответ:

$a^2 + b^2$

.