ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1147 Алимов — Подробные Ответы

Бросаются две игральные кости и рассматриваются события:

1. А — на первой кости выпало число 6, В — на второй кости выпало чётное число;
2. А — на первой кости выпало нечётное число, В — на второй кости выпало число, кратное 3. Убедиться с помощью формулы (1) в независимости событий А и В.

Бросаются две игральные кости:

1) Рассматриваются события:

• $A$ — на первой кости выпало число 6;
• $B$ — на второй кости выпало четное число;

$$P(A) = \frac{\{6\}}{6} = \frac{1}{6};$$ $$P(B) = \frac{\{2; 4; 6\}}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2};$$ $$P(AB) = \frac{\{6,2; 6,4; 6,6\}}{6 \cdot 6} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12};$$ $$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12} = P(AB);$$

Ответ: являются.

2) Рассматриваются события:

• $A$ — на первой кости выпало нечетное число;
• $B$ — на второй кости выпало число, кратное 3;

$$P(A) = \frac{\{1; 3; 5\}}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2};$$ $$P(B) = \frac{\{3; 6\}}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};$$ $$P(AB) = \frac{\{1,3; 1,6; 3,3; 3,6; 5,3; 5,6\}}{6 \cdot 6} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6};$$ $$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} = P(AB);$$

Ответ: являются.

Бросаются две игральные кости. Рассматриваются два случая:

1. $A$ — на первой кости выпало число 6, $B$ — на второй кости выпало чётное число.
2. $A$ — на первой кости выпало нечётное число, $B$ — на второй кости выпало число, кратное 3.

Необходимо проверить, являются ли события $A$ и $B$ независимыми, используя формулу:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$$

где:

• $P(AB)$ — вероятность того, что события $A$ и $B$ произойдут одновременно,
• $P(A)$ — вероятность события $A$,
• $P(B)$ — вероятность события $B$.

Если $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$, то события $A$ и $B$ являются независимыми.

1) События: $A$ — на первой кости выпало число 6, $B$ — на второй кости выпало чётное число

Шаг 1: Вычислим $P(A)$ — вероятность того, что на первой кости выпало число 6

Число на первой кости может быть любым из 6 возможных: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Число 6 — одно из этих 6 чисел.

$$P(A) = \frac{1}{6}$$

Шаг 2: Вычислим $P(B)$ — вероятность того, что на второй кости выпало чётное число

Числа на второй кости, которые являются чётными: $\{2, 4, 6\}$.

Количество чётных чисел на второй кости: 3.

Общее количество возможных чисел на второй кости: 6.

$$P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Вычислим $P(AB)$ — вероятность того, что на первой кости выпало число 6, а на второй кости — чётное число

Мы ищем вероятность того, что одновременно выполнится два условия:

• на первой кости выпало число 6 (1 из 6 чисел),
• на второй кости выпало чётное число (2, 4 или 6, то есть 3 из 6 чисел).

Общее количество исходов при броске двух костей: $6 \times 6 = 36$.

Числа, которые удовлетворяют условиям (на первой кости 6, на второй — чётное): $\{6, 2; 6, 4; 6, 6\}$. Всего таких исходов: 3.

$$P(AB) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$$

Шаг 4: Проверим независимость событий

Для проверки независимости, нам нужно проверить, выполняется ли условие $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$.

$$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$$

Так как $P(AB) = \frac{1}{12}$ и $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{12}$, то события $A$ и $B$ являются независимыми.

Ответ: Да, события $A$ и $B$ являются независимыми.

2) События: $A$ — на первой кости выпало нечётное число, $B$ — на второй кости выпало число, кратное 3

Шаг 1: Вычислим $P(A)$ — вероятность того, что на первой кости выпало нечётное число

Нечётные числа на первой кости: $\{1, 3, 5\}$.

Количество нечётных чисел на первой кости: 3.

Общее количество чисел на первой кости: 6.

$$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Шаг 2: Вычислим $P(B)$ — вероятность того, что на второй кости выпало число, кратное 3

Числа на второй кости, кратные 3: $\{3, 6\}$.

Количество чисел, кратных 3, на второй кости: 2.

Общее количество чисел на второй кости: 6.

$$P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Шаг 3: Вычислим $P(AB)$ — вероятность того, что на первой кости выпало нечётное число, а на второй кости — число, кратное 3

Мы ищем вероятность того, что одновременно выполнится два условия:

• на первой кости выпало нечётное число (1, 3, 5 — 3 из 6 чисел),
• на второй кости выпало число, кратное 3 (3, 6 — 2 из 6 чисел).

Общее количество исходов при броске двух костей: $6 \times 6 = 36$.

Числа, которые удовлетворяют условиям (на первой кости нечётное, на второй — кратное 3): $\{1, 3; 1, 6; 3, 3; 3, 6; 5, 3; 5, 6\}$. Всего таких исходов: 6.

$$P(AB) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$

Шаг 4: Проверим независимость событий

Для проверки независимости, нам нужно проверить, выполняется ли условие $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$.

$$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

Так как $P(AB) = \frac{1}{6}$ и $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6}$, то события $A$ и $B$ являются независимыми.

Ответ: Да, события $A$ и $B$ являются независимыми.

Итоговые ответы:

1. Для событий $A$ — на первой кости выпало число 6, $B$ — на второй кости выпало чётное число, события являются независимыми.
2. Для событий $A$ — на первой кости выпало нечётное число, $B$ — на второй кости выпало число, кратное 3, события являются независимыми.