ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1144 Алимов — Подробные Ответы

В студенческой группе 24 человека, среди которых только 6 девушек. Случайным образом из числа всех студентов выбирают троих на профсоюзную конференцию. Найти вероятность того, что среди них окажется: 1) по крайней мере одна девушка; 2) по крайней мере один юноша.

В студенческой группе 24 человека, среди которых 6 девушек и 18 юношей, случайным образом выбирают троих человек:

$$n = C_{24}^{3} = \frac{24!}{(24-3)! \cdot 3!} = \frac{24!}{21! \cdot 3!} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21!}{21! \cdot 3 \cdot 2} = 2024;$$

1) Вероятность, что выбрана по крайней мере одна девушка:

Пусть событие $\overline{C}$ — выбраны только юноши, тогда событие $C$ искомое:

$$m = C_{18}^{3} = \frac{18!}{(18-3)! \cdot 3!} = \frac{18!}{15! \cdot 3!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!}{15! \cdot 3 \cdot 2} = 6 \cdot 17 \cdot 8 = 816;$$ $$P(\overline{C}) = \frac{816}{2024} = \frac{102}{253};$$ $$P(C) = 1 — P(\overline{C}) = 1 — \frac{102}{253} = \frac{151}{253};$$

Ответ: $\frac{151}{253}$.

2) Вероятность, что выбран по крайней мере один юноша:

Пусть событие $\overline{C}$ — выбраны только девушки, тогда событие $C$ искомое:

$$m = C_{6}^{3} = \frac{6!}{(6-3)! \cdot 3!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 3 \cdot 2} = 5 \cdot 4 = 20;$$ $$P(\overline{C}) = \frac{20}{2024} = \frac{5}{506};$$ $$P(C) = 1 — P(\overline{C}) = 1 — \frac{5}{506} = \frac{501}{506};$$

Ответ: $\frac{501}{506}$.

Дано:

• В студенческой группе 24 человека, среди которых 6 девушек и 18 юношей.
• Случайным образом выбираются трое человек.

Необходимо найти:

1. Вероятность того, что среди выбранных будет хотя бы одна девушка.
2. Вероятность того, что среди выбранных будет хотя бы один юноша.

Шаг 1: Общее количество возможных исходов

Общее количество способов выбрать 3 человека из 24 (независимо от их пола) вычисляется через сочетание:

$$n = C_{24}^3 = \frac{24!}{(24-3)! \cdot 3!} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2024$$

Итак, общее количество способов выбрать 3 человека из 24 равно $2024$.

1) Вероятность, что среди выбранных будет хотя бы одна девушка

Для решения используем метод дополнения. Вместо того, чтобы напрямую вычислять вероятность того, что хотя бы одна девушка будет среди выбранных, проще вычислить вероятность противоположного события, когда все выбранные будут юношами, а затем вычесть эту вероятность из 1.

Шаг 1: Рассчитаем количество способов выбрать 3 юношей из 18.

$$m_{\text{юноши}} = C_{18}^3 = \frac{18!}{(18-3)! \cdot 3!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 816$$

Шаг 2: Рассчитаем вероятность того, что все выбранные будут юношами:

$$P(\overline{C}) = \frac{m_{\text{юноши}}}{n} = \frac{816}{2024} = \frac{102}{253}$$

Шаг 3: Теперь вероятность того, что среди выбранных будет хотя бы одна девушка, равна дополнению вероятности того, что все выбранные будут юношами:

$$P(C) = 1 — P(\overline{C}) = 1 — \frac{102}{253} = \frac{151}{253}$$

Ответ: Вероятность того, что среди выбранных будет хотя бы одна девушка, равна $\frac{151}{253}$.

2) Вероятность, что среди выбранных будет хотя бы один юноша

Также применим метод дополнения. Вместо того, чтобы вычислять вероятность того, что хотя бы один юноша будет среди выбранных, проще вычислить вероятность противоположного события, когда все выбранные будут девушками, а затем вычесть эту вероятность из 1.

Шаг 1: Рассчитаем количество способов выбрать 3 девушки из 6.

$$m_{\text{девушки}} = C_6^3 = \frac{6!}{(6-3)! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$$

Шаг 2: Рассчитаем вероятность того, что все выбранные будут девушками:

$$P(\overline{C}) = \frac{m_{\text{девушки}}}{n} = \frac{20}{2024} = \frac{5}{506}$$

Шаг 3: Теперь вероятность того, что среди выбранных будет хотя бы один юноша, равна дополнению вероятности того, что все выбранные будут девушками:

$$P(C) = 1 — P(\overline{C}) = 1 — \frac{5}{506} = \frac{501}{506}$$

Ответ: Вероятность того, что среди выбранных будет хотя бы один юноша, равна $\frac{501}{506}$.

Итоговые ответы:

1. Вероятность того, что среди выбранных будет хотя бы одна девушка: $\frac{151}{253}$.
2. Вероятность того, что среди выбранных будет хотя бы один юноша: $\frac{501}{506}$.