ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1143 Алимов — Подробные Ответы

Известно, что среди 100 деталей 5 бракованных. Наугад выбирают 4 детали. Найти вероятность того, что среди них окажется: 1) хотя бы одна бракованная деталь; 2) хотя бы одна не бракованная деталь.

Известно, что среди 100 деталей — 5 бракованных, наугад вынимают четыре детали:

$$n = C_{100}^4 = \frac{100!}{(100-4)! \cdot 4!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96!}{96! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 3 \, 921 \, 225;$$

1) Вероятность, что среди них есть хотя бы одна бракованная деталь:

Пусть событие $\overline{C}$ — все детали не бракованные, тогда событие $C$ искомое:

$$m = C_{95}^4 = \frac{95!}{(95-4)! \cdot 4!} = \frac{95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91!}{91! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 3 \, 183 \, 545;$$ $$P(\overline{C}) = \frac{3 \, 183 \, 545}{3 \, 921 \, 225} = \frac{636 \, 709}{784 \, 245};$$ $$P(C) = 1 — P(\overline{C}) = 1 — \frac{636 \, 709}{784 \, 245} = \frac{147 \, 536}{784 \, 245};$$

Ответ: $\frac{147 \, 536}{784 \, 245}$.

2) Вероятность, что среди них есть хотя бы одна не бракованная деталь:

Пусть событие $\overline{C}$ — все детали бракованные, тогда событие $C$ — искомое:

$$m = C_5^4 = \frac{5!}{(5-4)! \cdot 4!} = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 4!}{4!} = 5;$$ $$P(\overline{C}) = \frac{5}{3 \, 921 \, 225} = \frac{1}{784 \, 245};$$ $$P(C) = 1 — P(\overline{C}) = 1 — \frac{1}{784 \, 245} = \frac{784 \, 244}{784 \, 245};$$

Ответ: $\frac{784 \, 244}{784 \, 245}$.

• В коробке 100 деталей, из которых 5 бракованные, и 95 — не бракованные.
• Наугад выбираются 4 детали.
• Необходимо найти вероятность того, что среди выбранных деталей окажется:
  1. хотя бы одна бракованная деталь.
  2. хотя бы одна не бракованная деталь.

Шаг 1: Общее количество возможных исходов

Сначала найдем общее количество способов выбрать 4 детали из 100. Для этого используем сочетание $C_n^k$, которое рассчитывается по формуле:

$$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$

В нашем случае $n = 100$ (всего деталей), а $k = 4$ (выбираем 4 детали). Таким образом, общее количество способов выбрать 4 детали из 100:

$$n = C_{100}^4 = \frac{100!}{(100-4)! \cdot 4!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \, 921 \, 225$$

Итак, общее количество способов выбрать 4 детали из 100 равно $n = 3 \, 921 \, 225$.

1) Вероятность, что среди выбранных 4 деталей окажется хотя бы одна бракованная деталь

Для вычисления этой вероятности используем метод дополнения. Сначала вычислим вероятность противоположного события — когда все 4 детали не бракованные.

Шаг 1: Найдем количество способов выбрать 4 не бракованные детали из 95 не бракованных.

Число способов выбрать 4 не бракованные детали из 95:

$$m_{\text{не бракованные}} = C_{95}^4 = \frac{95!}{(95-4)! \cdot 4!} = \frac{95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \, 183 \, 545$$

Шаг 2: Рассчитаем вероятность того, что все 4 выбранных детали не бракованные:

$$P(\overline{C}) = \frac{m_{\text{не бракованные}}}{n} = \frac{3 \, 183 \, 545}{3 \, 921 \, 225} = \frac{636 \, 709}{784 \, 245}$$

Шаг 3: Теперь вероятность того, что среди выбранных 4 деталей окажется хотя бы одна бракованная, равна дополнению вероятности того, что все детали не бракованные:

$$P(C) = 1 — P(\overline{C}) = 1 — \frac{636 \, 709}{784 \, 245} = \frac{147 \, 536}{784 \, 245}$$

Ответ: Вероятность того, что среди выбранных 4 деталей окажется хотя бы одна бракованная деталь, равна $\frac{147 \, 536}{784 \, 245}$.

2) Вероятность, что среди выбранных 4 деталей окажется хотя бы одна не бракованная деталь

Для этого также используем метод дополнения. Сначала найдем вероятность противоположного события — когда все 4 детали бракованные.

Шаг 1: Найдем количество способов выбрать 4 бракованные детали из 5 бракованных.

Число способов выбрать 4 бракованные детали из 5:

$$m_{\text{бракованные}} = C_5^4 = \frac{5!}{(5-4)! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 4!}{1! \cdot 4!} = 5$$

Шаг 2: Рассчитаем вероятность того, что все 4 выбранных детали бракованные:

$$P(\overline{C}) = \frac{m_{\text{бракованные}}}{n} = \frac{5}{3 \, 921 \, 225} = \frac{1}{784 \, 245}$$

Шаг 3: Теперь вероятность того, что среди выбранных 4 деталей окажется хотя бы одна не бракованная, равна дополнению вероятности того, что все детали бракованные:

$$P(C) = 1 — P(\overline{C}) = 1 — \frac{1}{784 \, 245} = \frac{784 \, 244}{784 \, 245}$$

Ответ: Вероятность того, что среди выбранных 4 деталей окажется хотя бы одна не бракованная деталь, равна $\frac{784 \, 244}{784 \, 245}$.