ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 114 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение (114—117).

1. 
   $\frac{\sqrt{x} — \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{y}} — \frac{\sqrt{x} + \sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}$ 
2. 
   $\frac{x — y}{\sqrt[3]{x} — \sqrt[3]{y}} — \frac{x + y}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}$ 
3. 
   $\frac{\sqrt{x} — \sqrt[8]{y^2}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{y}} + \sqrt[3]{y}$ 
4. 
   $\frac{x \sqrt{x} — y \sqrt{y}}{x \sqrt{y} — y \sqrt{x}} — 1$ 

1)

$$\frac{\sqrt{x} — \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{y}} — \frac{\sqrt{x} + \sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}} = \frac{\frac{1}{2} — \frac{1}{2}}{\frac{1}{4} — \frac{1}{4}} — \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} =$$

$$= \frac{\left( \frac{1}{4} — \frac{1}{4} \right) \left( x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}} \right)}{x^{\frac{1}{4}} — y^{\frac{1}{4}}} — \frac{x^{\frac{1}{4}} \left( x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}} \right)}{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}} = x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}} — x^{\frac{1}{4}} = y^{\frac{1}{4}};$$

Ответ:

$\sqrt[4]{y}$

.

2)

$$\frac{x — y}{\sqrt[3]{x} — \sqrt[3]{y}} — \frac{x + y}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} =$$

$$= \frac{(x — y) \left( x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} \right)}{\left( x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}} \right) \left( x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} \right)} — \frac{(x + y) \left( x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} \right)}{\left( x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}} \right) \left( x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} \right)} =$$

$$= \frac{(x — y) \left( x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} \right)}{x — y} — \frac{(x + y) \left( x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} \right)}{x + y} =$$

$$= x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} — \left( x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} \right) = 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} = 2 \sqrt[3]{xy};$$

Ответ:

$2 \sqrt[3]{xy}$

.

3)

$$\frac{\sqrt{x} — \sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{y}} + \sqrt[3]{y} = \frac{\frac{1}{2} — \frac{2}{3}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}} =$$

$$= \frac{\left( \frac{1}{4} — \frac{1}{3} \right) \left( x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{3}} \right)}{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{3}}} + y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{4}} — y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{4}};$$

Ответ:

$\sqrt[4]{x}$

.

4)

$$\frac{x \sqrt{x} — y \sqrt{y}}{x \sqrt{y} — y \sqrt{x}} — 1 = \frac{x^{\frac{3}{2}} — y^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} — 1 = \frac{x^{\frac{3}{2}} — y^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot \left( x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}} \right)} — 1 =$$

$$= \frac{\left( x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}} \right) \left( x + \sqrt{xy} + y \right)}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot \left( x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}} \right)} — 1 = \frac{x + \sqrt{xy} + y}{\sqrt{xy}} — 1 =$$

$$= \frac{x + \sqrt{xy} + y — \sqrt{xy}}{\sqrt{xy}} = \frac{x + y}{\sqrt{xy}};$$

Ответ:

$\frac{x + y}{\sqrt{xy}}$

.

1)

$$\frac{\sqrt{x} — \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{y}} — \frac{\sqrt{x} + \sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}} =$$

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое:

$$\frac{\sqrt{x} — \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{y}} = \frac{x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{4}} — y^{\frac{1}{4}}}$$

В знаменателе разность степеней четвертой степени, в числителе разность квадратных корней. Это выражение напоминает формулу разности квадратов. Попробуем преобразовать её.
Преобразуем в числителе и знаменателе:

$$\frac{x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{4}} — y^{\frac{1}{4}}} = \frac{\left(x^{\frac{1}{4}} — y^{\frac{1}{4}}\right)\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)}{x^{\frac{1}{4}} — y^{\frac{1}{4}}}$$

Сокращаем

$\left(x^{\frac{1}{4}} — y^{\frac{1}{4}}\right)$

, получаем:

$$= x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}$$

Теперь второе слагаемое:

$$\frac{\sqrt{x} + \sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}} = \frac{x^{\frac{1}{2}} + (xy)^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}}$$

Сначала видим, что числитель можно представить как сумму квадратного корня и четвертого корня произведения

$xy$

.

Для упрощения этого выражения рассмотрим, что:

$$\frac{x^{\frac{1}{2}} + (xy)^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}}$$

Сложим их в следующем виде:

$$= x^{\frac{1}{4}} \left( x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}} \right) \div \left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)$$

Сокращаем, остается:

$$= x^{\frac{1}{4}}$$

Теперь, после выполнения всех операций, результат для первого слагаемого и второго:

$$\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right) — x^{\frac{1}{4}} = y^{\frac{1}{4}}$$

Ответ:

$\sqrt[4]{y}$

.

2)

$$\frac{x — y}{\sqrt[3]{x} — \sqrt[3]{y}} — \frac{x + y}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} =$$

Давайте разберем это выражение по частям.

Первое слагаемое:

$$\frac{x — y}{\sqrt[3]{x} — \sqrt[3]{y}} = \frac{(x — y) \left( x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} \right)}{(x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}) \left( x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} \right)} = x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}$$

Сокращаем

$(x — y)$

и

$(x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}})$

с аналогичной частью в знаменателе, оставаясь с результатом:

$$x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}$$

Второе слагаемое:

$$\frac{x + y}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} = \frac{(x + y) \left( x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} \right)}{(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}) \left( x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} \right)} = x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}$$

Сокращаем

$(x + y)$

и

$(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$

, получаем:

$$x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}$$

Теперь вычитаем:

$$x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} — \left(x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}\right) = 2x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} = 2 \sqrt[3]{xy}$$

Ответ:

$2 \sqrt[3]{xy}$

.

3)

$$\frac{\sqrt{x} — \sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{y}} + \sqrt[3]{y} = \frac{\frac{1}{2} — \frac{2}{3}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}} =$$

Рассмотрим выражение:

$$\frac{\sqrt{x} — \sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{y}} + y^{\frac{1}{3}} = \frac{x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{3}}} + y^{\frac{1}{3}}$$

Числитель:

$\sqrt{x} — \sqrt[3]{y^2} = x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{2}{3}}$

,
Знаменатель:

$\sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{y} = x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{3}}$

.
Теперь упрощаем, получаем:

$$x^{\frac{1}{4}} — y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{4}}$$

Ответ:

$\sqrt[4]{x}$

.

4)

$$\frac{x \sqrt{x} — y \sqrt{y}}{x \sqrt{y} — y \sqrt{x}} — 1 = \frac{x^{\frac{3}{2}} — y^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} — 1 =$$

$$= \frac{x^{\frac{3}{2}} — y^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \left( x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}} \right)} — 1$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{\left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right)\left(x + \sqrt{xy} + y\right)}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right)} — 1$$

Сокращаем:

$$= \frac{x + \sqrt{xy} + y}{\sqrt{xy}} — 1 = \frac{x + \sqrt{xy} + y — \sqrt{xy}}{\sqrt{xy}} = \frac{x + y}{\sqrt{xy}}$$

Ответ:

$\frac{x + y}{\sqrt{xy}}$

.