ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 112 Алимов — Подробные Ответы

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

1. $\frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$
2. $\frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{10}}$
3. $\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$
4. $\frac{2}{\sqrt[4]{27}}$
5. $\frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}}$
6. $\frac{11}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}$
7. $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$
8. $\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}$

1) $\frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

$$\frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{2\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2-3}=$$

$$=\frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{-1}=-2(\sqrt{2}+\sqrt{3})$$

2) $\frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{10}}$

$$\frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}\cdot (5-\sqrt{10})}{(5+\sqrt{10})(5-\sqrt{10})}=\frac{\sqrt{5}(5-\sqrt{10})}{25-10}=\frac{\sqrt{5}(5-\sqrt{10})}{15}$$

$$=\frac{5\sqrt{5}-\sqrt{5\cdot 10}}{15}=\frac{5\sqrt{5}-\sqrt{50}}{15}=\frac{5\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{15}=\frac{5(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{15}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$$

3) $\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$

$$\frac{3}{\sqrt[3]{4}}=\frac{3\cdot \sqrt[3]{4^2}}{\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{4^2}}=\frac{3\cdot \sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{4^3}}=\frac{3\cdot \sqrt[3]{16}}{4}=\frac{3\sqrt[3]{16}}{4}$$

4) $\frac{2}{\sqrt[4]{27}}$

$$\frac{2}{\sqrt[4]{27}}=\frac{2\cdot \sqrt[4]{{27}^3}}{\sqrt[4]{27}\cdot \sqrt[4]{{27}^3}}=\frac{2\cdot \sqrt[4]{{27}^3}}{\sqrt[4]{{27}^4}}=\frac{2\cdot \sqrt[4]{{27}^3}}{27}=\frac{2\sqrt[4]{{27}^3}}{27}$$

5) $\frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}}$

$$\frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}}=\frac{3\cdot (\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})}{(\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})}=\frac{3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})}{\sqrt[2]{5}-\sqrt[2]{2}}$$

$$=\frac{3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})\cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}=\frac{3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2}=$$

$$=\frac{3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3}$$

$$=(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$$

6) $\frac{11}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}$

$$\frac{11}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}=\frac{11\cdot ((\sqrt[3]{3}{)}^2-\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2}{)}^2)}{(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2})\cdot ((\sqrt[3]{3}{)}^2-\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2}{)}^2)}$$

$$=\frac{11\cdot (\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^3}=\frac{11\cdot (\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{3+2}=\frac{11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{5}$$

7) $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

$$\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}$$

$$=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{2}+2-3}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{4}$$

8) $\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}$

$$\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}=\frac{1}{{\left(\frac{1}{2^3}\right)}^{\frac{1}{3}}+{\left(\frac{1}{6^3}\right)}^{\frac{1}{3}}+{\left(\frac{1}{9^3}\right)}^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{9}\right)}$$

$$=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{9}\right)}=\frac{1}{\frac{9+3+2}{18}}=\frac{18}{14}=\frac{9}{7}$$

1) $\frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

Задача заключается в избавлении от иррациональности в знаменателе дроби. Для этого применим метод умножения числителя и знаменателя на сопряжённое выражение.

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

Сопряжённым выражением к $\sqrt{2}-\sqrt{3}$ является $\sqrt{2}+\sqrt{3}$. Умножаем числитель и знаменатель на это выражение:

$$\frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{2\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}$$

Шаг 2: Применение формулы разности квадратов

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=\sqrt{2}$ и $b=\sqrt{3}$:

$$(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})=(\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2=2-3=-1$$

Шаг 3: Упрощение выражения

Теперь получаем:

$$\frac{2\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{3})}{-1}=-2(\sqrt{2}+\sqrt{3})$$

Ответ:$$\boxed{{\displaystyle -2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}}$$

2) $\frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{10}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $5-\sqrt{10}$.

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

$$\frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}\cdot (5-\sqrt{10})}{(5+\sqrt{10})(5-\sqrt{10})}$$

Шаг 2: Применение формулы разности квадратов

Используем формулу разности квадратов:

$$(5+\sqrt{10})(5-\sqrt{10})=5^2-(\sqrt{10}{)}^2=25-10=15$$

Шаг 3: Упрощение выражения

Теперь числитель равен $\sqrt{5}(5-\sqrt{10})$, а знаменатель — 15:

$$=\frac{\sqrt{5}(5-\sqrt{10})}{15}$$

Разделим на 15:

$$=\frac{5\sqrt{5}-\sqrt{50}}{15}$$

Упростим $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$:

$$=\frac{5\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{15}=\frac{5(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{15}$$

Делим на 5:

$$=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$$

Ответ:$$\boxed{{\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}}}$$

3) $\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{4^2}$

Шаг 1: Умножение на кубический корень от квадрата

$$\frac{3}{\sqrt[3]{4}}=\frac{3\cdot \sqrt[3]{4^2}}{\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{4^2}}=\frac{3\cdot \sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{4^3}}=\frac{3\cdot \sqrt[3]{16}}{4}$$

Ответ:$$\boxed{{\displaystyle \frac{3\sqrt[3]{16}}{4}}}$$

4) $\frac{2}{\sqrt[4]{27}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt[4]{{27}^3}$

Шаг 1: Умножение на четвёртый корень от куба

$$\frac{2}{\sqrt[4]{27}}=\frac{2\cdot \sqrt[4]{{27}^3}}{\sqrt[4]{27}\cdot \sqrt[4]{{27}^3}}=\frac{2\cdot \sqrt[4]{{27}^3}}{\sqrt[4]{{27}^4}}=\frac{2\cdot \sqrt[4]{{27}^3}}{27}$$

Ответ:$$\boxed{{\displaystyle \frac{2\sqrt[4]{{27}^3}}{27}}}$$

5) $\frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2}$

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

$$\frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}}=\frac{3\cdot (\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})}{(\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})}$$

Шаг 2: Применение формулы разности квадратов

Используем формулу разности квадратов:

$$(\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})=(\sqrt[2]{5}{)}^2-(\sqrt[2]{2}{)}^2=5-2=3$$

Шаг 3: Упрощение выражения

Теперь числитель равен $3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})$, а знаменатель — 3:

$$=\frac{3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})}{3}=(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})$$

Ответ:$$\boxed{{\displaystyle \sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2}}}$$

6) $\frac{11}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt[3]{3}{)}^2-\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2}{)}^2$, что является сопряжённым выражением.

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

$$\frac{11}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}=\frac{11\cdot ((\sqrt[3]{3}{)}^2-\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2}{)}^2)}{(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2})\cdot ((\sqrt[3]{3}{)}^2-\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2}{)}^2)}$$

Шаг 2: Применение формулы разности кубов

В знаменателе используется формула разности кубов:

$$(\sqrt[3]{3}{)}^3-(\sqrt[3]{2}{)}^3=3-2=1$$

Шаг 3: Упрощение выражения

Теперь числитель остаётся как есть, а знаменатель равен 1:

$$=11\cdot (\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})$$

Ответ:$$\boxed{{\displaystyle 11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}}$$

7) $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $1+\sqrt{2}-\sqrt{3}$

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

$$\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}$$

Шаг 2: Применение формулы разности квадратов

$$(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})=(1+\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2$$

$$=1+2\sqrt{2}+2-3=2+2\sqrt{2}$$

Шаг 3: Упрощение выражения

Теперь числитель $1+\sqrt{2}-\sqrt{3}$, а знаменатель $2\sqrt{2}$:

$$\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{4}$$

Ответ:$$\boxed{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{4}}}$$

8) $\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе выполняем сложение дробей.

Шаг 1: Преобразование выражения

$$\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}=\frac{1}{{\left(\frac{1}{2^3}\right)}^{\frac{1}{3}}+{\left(\frac{1}{6^3}\right)}^{\frac{1}{3}}+{\left(\frac{1}{9^3}\right)}^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{9}\right)}$$

Шаг 2: Сложение дробей

$$=\frac{1}{\frac{9+3+2}{18}}=\frac{18}{14}=\frac{9}{7}$$

Ответ:$$\boxed{{\displaystyle \frac{9}{7}}}$$