ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 112 Алимов — Подробные Ответы

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

1. 
   $\frac{2}{\sqrt{2} — \sqrt{3}}$ 

   ;

2. 
   $\frac{\sqrt{5}}{5 + \sqrt{10}}$ 

   ;

3. 
   $\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$ 

   ;

4. 
   $\frac{2}{\sqrt[4]{27}}$ 

   ;

5. 
   $\frac{3}{\sqrt[4]{5} — \sqrt[4]{2}}$ 

   ;

6. 
   $\frac{11}{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}}$ 

   ;

7. 
   $\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ 

   ;

8. 
   $\frac{1}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}$ 

   .

1)

$\frac{2}{\sqrt{2} — \sqrt{3}}$

$$\frac{2}{\sqrt{2} — \sqrt{3}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} — \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{2 — 3} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{-1} = -2(\sqrt{2} + \sqrt{3})$$

2)

$\frac{\sqrt{5}}{5 + \sqrt{10}}$

$$\frac{\sqrt{5}}{5 + \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5} \cdot (5 — \sqrt{10})}{(5 + \sqrt{10})(5 — \sqrt{10})} = \frac{\sqrt{5}(5 — \sqrt{10})}{25 — 10} = \frac{\sqrt{5}(5 — \sqrt{10})}{15}$$

$$= \frac{5\sqrt{5} — \sqrt{5 \cdot 10}}{15} = \frac{5\sqrt{5} — \sqrt{50}}{15} = \frac{5\sqrt{5} — 5\sqrt{2}}{15} = \frac{5(\sqrt{5} — \sqrt{2})}{15} = \frac{\sqrt{5} — \sqrt{2}}{3}$$

3)

$\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$

$$\frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{4^2}}{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{4^2}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{4^3}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{16}}{4} = \frac{3 \sqrt[3]{16}}{4}$$

4)

$\frac{2}{\sqrt[4]{27}}$

$$\frac{2}{\sqrt[4]{27}} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{27^3}}{\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{27^3}} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{27^3}}{\sqrt[4]{27^4}} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{27^3}}{27} = \frac{2 \sqrt[4]{27^3}}{27}$$

5)

$\frac{3}{\sqrt[4]{5} — \sqrt[4]{2}}$

$$\frac{3}{\sqrt[4]{5} — \sqrt[4]{2}} = \frac{3 \cdot (\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})}{(\sqrt[4]{5} — \sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})} = \frac{3(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})}{\sqrt[2]{5} — \sqrt[2]{2}}$$

$$= \frac{3(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2}) \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} — \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 — 2} = \frac{3(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}$$

$$= (\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})$$

6)

$\frac{11}{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}}$

$$\frac{11}{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}} = \frac{11 \cdot \left( (\sqrt[3]{3})^2 — \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2 \right)}{\left( \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2} \right) \cdot \left( (\sqrt[3]{3})^2 — \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2 \right)}$$

$$= \frac{11 \cdot \left( \sqrt[3]{9} — \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4} \right)}{\left( \sqrt[3]{3} \right)^3 + \left( \sqrt[3]{2} \right)^3} = \frac{11 \cdot \left( \sqrt[3]{9} — \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4} \right)}{3 + 2} = \frac{11 \left( \sqrt[3]{9} — \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4} \right)}{5}$$

7)

$\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$

$$\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{2} — \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})(1 + \sqrt{2} — \sqrt{3})} = \frac{1 + \sqrt{2} — \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2})^2 — (\sqrt{3})^2}$$

$$= \frac{1 + \sqrt{2} — \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{2} + 2 — 3} = \frac{1 + \sqrt{2} — \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 2 — \sqrt{6}}{4}$$

8)

$\frac{1}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}$

$$\frac{1}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}} = \frac{1}{\left( \frac{1}{2^3} \right)^{\frac{1}{3}} + \left( \frac{1}{6^3} \right)^{\frac{1}{3}} + \left( \frac{1}{9^3} \right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{9} \right)}$$

$$= \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{9} \right)} = \frac{1}{\frac{9 + 3 + 2}{18}} = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}$$

1)

$\frac{2}{\sqrt{2} — \sqrt{3}}$

Задача заключается в избавлении от иррациональности в знаменателе дроби. Для этого применим метод умножения числителя и знаменателя на сопряжённое выражение.

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

Сопряжённым выражением к

$\sqrt{2} — \sqrt{3}$

является

$\sqrt{2} + \sqrt{3}$

. Умножаем числитель и знаменатель на это выражение:

$$\frac{2}{\sqrt{2} — \sqrt{3}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} — \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})}$$

Шаг 2: Применение формулы разности квадратов

Используем формулу разности квадратов

$(a — b)(a + b) = a^2 — b^2$

, где

$a = \sqrt{2}$

и

$b = \sqrt{3}$

:

$$(\sqrt{2} — \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 — (\sqrt{3})^2 = 2 — 3 = -1$$

Шаг 3: Упрощение выражения

Теперь получаем:

$$\frac{2 \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{3})}{-1} = -2(\sqrt{2} + \sqrt{3})$$

Ответ:

$$\boxed{-2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}$$

2)

$\frac{\sqrt{5}}{5 + \sqrt{10}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение

$5 — \sqrt{10}$

.

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

$$\frac{\sqrt{5}}{5 + \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5} \cdot (5 — \sqrt{10})}{(5 + \sqrt{10})(5 — \sqrt{10})}$$

Шаг 2: Применение формулы разности квадратов

Используем формулу разности квадратов:

$$(5 + \sqrt{10})(5 — \sqrt{10}) = 5^2 — (\sqrt{10})^2 = 25 — 10 = 15$$

Шаг 3: Упрощение выражения

Теперь числитель равен

$\sqrt{5}(5 — \sqrt{10})$

, а знаменатель — 15:

$$= \frac{\sqrt{5}(5 — \sqrt{10})}{15}$$

Разделим на 15:

$$= \frac{5\sqrt{5} — \sqrt{50}}{15}$$

Упростим

$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

:

$$= \frac{5\sqrt{5} — 5\sqrt{2}}{15} = \frac{5(\sqrt{5} — \sqrt{2})}{15}$$

Делим на 5:

$$= \frac{\sqrt{5} — \sqrt{2}}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt{5} — \sqrt{2}}{3}}$$

3)

$\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на

$\sqrt[3]{4^2}$

.

Шаг 1: Умножение на кубический корень от квадрата

$$\frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{4^2}}{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{4^2}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{4^3}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{16}}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{3 \sqrt[3]{16}}{4}}$$

4)

$\frac{2}{\sqrt[4]{27}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на

$\sqrt[4]{27^3}$

.

Шаг 1: Умножение на четвёртый корень от куба

$$\frac{2}{\sqrt[4]{27}} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{27^3}}{\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{27^3}} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{27^3}}{\sqrt[4]{27^4}} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{27^3}}{27}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{2 \sqrt[4]{27^3}}{27}}$$

5)

$\frac{3}{\sqrt[4]{5} — \sqrt[4]{2}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение

$\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2}$

.

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

$$\frac{3}{\sqrt[4]{5} — \sqrt[4]{2}} = \frac{3 \cdot (\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})}{(\sqrt[4]{5} — \sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})}$$

Шаг 2: Применение формулы разности квадратов

Используем формулу разности квадратов:

$$(\sqrt[4]{5} — \sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2}) = (\sqrt[2]{5})^2 — (\sqrt[2]{2})^2 = 5 — 2 = 3$$

Шаг 3: Упрощение выражения

Теперь числитель равен

$3(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})$

, а знаменатель — 3:

$$= \frac{3(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})}{3} = (\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})$$

Ответ:

$$\boxed{\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2}}$$

6)

$\frac{11}{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на

$(\sqrt[3]{3})^2 — \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2$

, что является сопряжённым выражением.

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

$$\frac{11}{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}} = \frac{11 \cdot \left( (\sqrt[3]{3})^2 — \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2 \right)}{(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}) \cdot \left( (\sqrt[3]{3})^2 — \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2 \right)}$$

Шаг 2: Применение формулы разности кубов

В знаменателе используется формула разности кубов:

$$(\sqrt[3]{3})^3 — (\sqrt[3]{2})^3 = 3 — 2 = 1$$

Шаг 3: Упрощение выражения

Теперь числитель остаётся как есть, а знаменатель равен 1:

$$= 11 \cdot \left( \sqrt[3]{9} — \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4} \right)$$

Ответ:

$$\boxed{11 \left( \sqrt[3]{9} — \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4} \right)}$$

7)

$\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на

$1 + \sqrt{2} — \sqrt{3}$

.

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

$$\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{2} — \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})(1 + \sqrt{2} — \sqrt{3})}$$

Шаг 2: Применение формулы разности квадратов

$$(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})(1 + \sqrt{2} — \sqrt{3}) = (1 + \sqrt{2})^2 — (\sqrt{3})^2$$

$$= 1 + 2\sqrt{2} + 2 — 3 = 2 + 2\sqrt{2}$$

Шаг 3: Упрощение выражения

Теперь числитель

$1 + \sqrt{2} — \sqrt{3}$

, а знаменатель

$2\sqrt{2}$

:

$$\frac{1 + \sqrt{2} — \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 2 — \sqrt{6}}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt{2} + 2 — \sqrt{6}}{4}}$$

8)

$\frac{1}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе выполняем сложение дробей.

Шаг 1: Преобразование выражения

$$\frac{1}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}} = \frac{1}{\left( \frac{1}{2^3} \right)^{\frac{1}{3}} + \left( \frac{1}{6^3} \right)^{\frac{1}{3}} + \left( \frac{1}{9^3} \right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{9} \right)}$$

Шаг 2: Сложение дробей

$$= \frac{1}{\frac{9 + 3 + 2}{18}} = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{9}{7}}$$