ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1114 Алимов — Подробные Ответы

Найти член разложения бинома:

1. (корень 3 степени x + 1/корень 3 степени x)15, содержащий x1/3;
2. (1/корень x + корень x )14, содержащий x2;
3. (1/корень 4 степени x + корень 3 степени x)16, содержащий x^-13/12;
4. (корень 5 степени x + 1/корень 3 степени x)13, содержащий x^-0,6.

Общий член разложения бинома Ньютона имеет вид:

$$(a + b)^m = C_m^n \cdot a^{m-n} \cdot b^n;$$

1) $\left( \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)^{15}$;

Общий член разложения:

$$C_{15}^n \cdot \left( x^{\frac{1}{3}} \right)^{15-n} \cdot \left( x^{-\frac{1}{3}} \right)^n = C_{15}^n \cdot x^{5-\frac{n}{3}} \cdot x^{-\frac{n}{3}} = C_{15}^n \cdot x^{5-\frac{2n}{3}};$$

Номер члена, содержащего $x^{\frac{1}{3}}$:

$$x^{5-\frac{2n}{3}} = x^{\frac{1}{3}};$$ $$5 — \frac{2n}{3} = \frac{1}{3};$$ $$15 — 2n = 1;$$ $$2n = 14; \text{ отсюда } n = 7;$$

Биномиальный коэффициент:

$$C_{15}^7 = \frac{15!}{(15-7)! \cdot 7!} = \frac{15!}{8! \cdot 7!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{8! \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 6435;$$

Ответ: $6435x^{\frac{1}{3}}$.

2) $\left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \right)^{14}$;

Общий член разложения:

$$C_{14}^n \cdot \left( x^{-\frac{1}{2}} \right)^{14-n} \cdot \left( x^{\frac{1}{2}} \right)^n = C_{14}^n \cdot x^{-7+\frac{n}{2}} \cdot x^{\frac{n}{2}} = C_{14}^n \cdot x^{n-7};$$

Номер члена, содержащего $x^2$:

$$x^{n-7} = x^2;$$ $$n — 7 = 2; \text{ отсюда } n = 9;$$

Биномиальный коэффициент:

$$C_{14}^9 = \frac{14!}{(14-9)! \cdot 9!} = \frac{14!}{5! \cdot 9!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 9!} = 2002;$$

Ответ: $2002x^2$.

3) $\left( \frac{1}{\sqrt[4]{x}} + \sqrt[3]{x} \right)^{16}$;

Общий член разложения:

$$C_{16}^n \cdot \left( x^{-\frac{1}{4}} \right)^{16-n} \cdot \left( x^{\frac{1}{3}} \right)^n = C_{16}^n \cdot x^{-4+\frac{n}{4}} \cdot x^{\frac{n}{3}} = C_{16}^n \cdot x^{\frac{7n}{12}-4};$$

Номер члена, содержащего $x^{-\frac{13}{12}}$:

$$x^{\frac{7n}{12}-4} = x^{-\frac{13}{12}};$$ $$\frac{7n}{12} — 4 = -\frac{13}{12};$$ $$7n — 48 = -13;$$ $$7n = 35; \text{ отсюда } n = 5;$$

Биномиальный коэффициент:

$$C_{16}^5 = \frac{16!}{(16-5)! \cdot 5!} = \frac{16!}{11! \cdot 5!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{11! \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 4368;$$

Ответ: $4368x^{-\frac{13}{12}}$.

4) $\left( \sqrt[5]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)^{13}$;

Общий член разложения:

$$C_{13}^n \cdot \left( x^{\frac{1}{5}} \right)^{13-n} \cdot \left( x^{-\frac{1}{3}} \right)^n = C_{13}^n \cdot x^{\frac{13-n}{5}} \cdot x^{-\frac{n}{3}} = C_{13}^n \cdot x^{\frac{13}{5}-\frac{8n}{15}};$$

Номер члена, содержащего $x^{-0.6}$:

$$x^{\frac{13}{5}-\frac{8n}{15}} = x^{-0.6};$$ $$\frac{13}{5} — \frac{8n}{15} = -0.6;$$ $$39 — 8n = -9;$$ $$8n = 48; \text{ отсюда } n = 6;$$

Биномиальный коэффициент:

$$C_{13}^6 = \frac{13!}{(13-6)! \cdot 6!} = \frac{13!}{7! \cdot 6!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 1716;$$

Ответ: $1716x^{-0.6}$.

1. Бином Ньютона применяется для разложения выражений вида $(a + b)^m$, где $m$ — степень, а $a$ и $b$ — переменные или числа. Бином Ньютона позволяет выразить это разложение в виде суммы:

   $$(a + b)^m = C_m^0 \cdot a^m + C_m^1 \cdot a^{m-1} \cdot b + C_m^2 \cdot a^{m-2} \cdot b^2 + \cdots + C_m^m \cdot b^m$$

   где $C_m^n$ — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:

   $$C_m^n = \frac{m!}{n! (m-n)!}$$

2. Общий член разложения бинома Ньютона выглядит так:

   $$C_m^n \cdot a^{m-n} \cdot b^n$$

Пример 1: Разложение $\left( \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)^{15}$

Шаг 1: Запишем общий член разложения

Итак, выражение для разложения бинома Ньютона:

$$\left( \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)^{15}$$

Общий член разложения будет:

$$C_{15}^n \cdot \left( x^{\frac{1}{3}} \right)^{15-n} \cdot \left( x^{-\frac{1}{3}} \right)^n = C_{15}^n \cdot x^{5-\frac{n}{3}} \cdot x^{-\frac{n}{3}} = C_{15}^n \cdot x^{5 — \frac{2n}{3}}$$

Шаг 2: Номер члена, содержащего $x^{\frac{1}{3}}$

Нам нужно найти номер члена, который содержит $x^{\frac{1}{3}}$. Для этого приравняем степень $x$ к $\frac{1}{3}$:

$$5 — \frac{2n}{3} = \frac{1}{3}$$

Решаем это уравнение:

$$5 — \frac{2n}{3} = \frac{1}{3}$$ $$15 — 2n = 1 \quad \text{умножаем обе части на 3}$$ $$2n = 14$$ $$n = 7$$

Шаг 3: Находим биномиальный коэффициент $C_{15}^7$

Теперь вычислим биномиальный коэффициент для $n = 7$:

$$C_{15}^7 = \frac{15!}{(15-7)! \cdot 7!} = \frac{15!}{8! \cdot 7!}$$

Сокращаем факториалы:

$$C_{15}^7 = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{8! \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 6435$$

Ответ: Биномиальный коэффициент $C_{15}^7 = 6435$, и общий член разложения будет:

$$6435x^{\frac{1}{3}}$$

Пример 2: Разложение $\left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \right)^{14}$

Шаг 1: Запишем общий член разложения

В данном случае:

$$\left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \right)^{14}$$

Общий член разложения:

$$C_{14}^n \cdot \left( x^{-\frac{1}{2}} \right)^{14-n} \cdot \left( x^{\frac{1}{2}} \right)^n = C_{14}^n \cdot x^{-7+\frac{n}{2}} \cdot x^{\frac{n}{2}} = C_{14}^n \cdot x^{n-7}$$

Шаг 2: Номер члена, содержащего $x^2$

Нам нужно найти номер члена, который содержит $x^2$. Для этого приравняем степень $x$ к 2:

$$n — 7 = 2$$

Решаем уравнение:

$$n = 9$$

Шаг 3: Находим биномиальный коэффициент $C_{14}^9$

Теперь вычислим биномиальный коэффициент для $n = 9$:

$$C_{14}^9 = \frac{14!}{(14-9)! \cdot 9!} = \frac{14!}{5! \cdot 9!}$$

Сокращаем факториалы:

$$C_{14}^9 = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 9!} = 2002$$

Ответ: Биномиальный коэффициент $C_{14}^9 = 2002$, и общий член разложения будет:

$$2002x^2$$

Пример 3: Разложение $\left( \frac{1}{\sqrt[4]{x}} + \sqrt[3]{x} \right)^{16}$

Шаг 1: Запишем общий член разложения

В этом примере:

$$\left( \frac{1}{\sqrt[4]{x}} + \sqrt[3]{x} \right)^{16}$$

Общий член разложения:

$$C_{16}^n \cdot \left( x^{-\frac{1}{4}} \right)^{16-n} \cdot \left( x^{\frac{1}{3}} \right)^n = C_{16}^n \cdot x^{-4+\frac{n}{4}} \cdot x^{\frac{n}{3}} = C_{16}^n \cdot x^{\frac{7n}{12}-4}$$

Шаг 2: Номер члена, содержащего $x^{-\frac{13}{12}}$

Нам нужно найти номер члена, который содержит $x^{-\frac{13}{12}}$. Для этого приравняем степень $x$ к $-\frac{13}{12}$:

$$\frac{7n}{12} — 4 = -\frac{13}{12}$$

Решаем уравнение:

$$7n — 48 = -13$$ $$7n = 35$$ $$n = 5$$

Шаг 3: Находим биномиальный коэффициент $C_{16}^5$

Теперь вычислим биномиальный коэффициент для $n = 5$:

$$C_{16}^5 = \frac{16!}{(16-5)! \cdot 5!} = \frac{16!}{11! \cdot 5!}$$

Сокращаем факториалы:

$$C_{16}^5 = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{11! \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 4368$$

Ответ: Биномиальный коэффициент $C_{16}^5 = 4368$, и общий член разложения будет:

$$4368x^{-\frac{13}{12}}$$

Пример 4: Разложение $\left( \sqrt[5]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)^{13}$

Шаг 1: Запишем общий член разложения

В данном случае:

$$\left( \sqrt[5]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)^{13}$$

Общий член разложения:

$$C_{13}^n \cdot \left( x^{\frac{1}{5}} \right)^{13-n} \cdot \left( x^{-\frac{1}{3}} \right)^n = C_{13}^n \cdot x^{\frac{13-n}{5}} \cdot x^{-\frac{n}{3}} = C_{13}^n \cdot x^{\frac{13}{5} — \frac{8n}{15}}$$

Шаг 2: Номер члена, содержащего $x^{-0.6}$

Нам нужно найти номер члена, который содержит $x^{-0.6}$. Для этого приравняем степень $x$ к $-0.6$:

$$\frac{13}{5} — \frac{8n}{15} = -0.6$$

Решаем уравнение:

$$39 — 8n = -9$$ $$8n = 48$$ $$n = 6$$

Шаг 3: Находим биномиальный коэффициент $C_{13}^6$

Теперь вычислим биномиальный коэффициент для $n = 6$:

$$C_{13}^6 = \frac{13!}{(13-6)! \cdot 6!} = \frac{13!}{7! \cdot 6!}$$

Сокращаем факториалы:

$$C_{13}^6 = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 1716$$

Ответ: Биномиальный коэффициент $C_{13}^6 = 1716$, и общий член разложения будет:

$$1716x^{-0.6}$$