ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1109 Алимов — Подробные Ответы

Найти значение выражения, предварительно его упростив:

1. С 1/4 + C2/4 + C3/4 + C4/4;
2. C1/5 + C2/5+C3/5 + C4/5;
3. C0/7 + C7/7 + C1/7 + C6/7 + C2/7 + C5/7+ C3/7+ C4/7;
4. C 0/6 + C 6/6 + C 1/6 + C 5/6 + C 2/6 + C 4/6 + C 3/6;
5. C2/12 + C3/12 + C4/13 + C5/14;
6. C3/9 + C4/9 + C5/10+ C6/11;
7. C 7/21 — C 7/20;
8. C9/25- C9/24;
9. C 10/15 — C 9/14;
10. C8/13 — C7/12.

Сумма элементов $n$-ой строки треугольника Паскаля равна $2^n$.

Рекуррентное свойство сочетаний:
$C_m^n + C_m^{n+1} = C_{m+1}^{n+1},$
отсюда
$C_{m+1}^{n+1} — C_m^n = C_m^{n+1} \quad \text{и} \quad C_{m+1}^{n+1} — C_m^{n+1} = C_m^n.$

1. $C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 2^4 — C_4^0 = 16 — 1 = 15;$
2. $C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 = 2^5 — C_5^0 — C_5^5 = 32 — 1 — 1 = 30;$
3. $C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = 2^7 = 128;$
4. $C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6 = 2^6 = 64;$
5. $C_{12}^2 + C_{12}^3 + C_{12}^4 + C_{12}^5 = C_{13}^3 + C_{13}^4 + C_{13}^5 = C_{14}^4 + C_{14}^5 = C_{15}^5;$
   $C_{15}^5 = \frac{15!}{(15-5)! \cdot 5!} = \frac{15!}{10! \cdot 5!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{10! \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 11 = 3003;$
6. $C_{12}^3 + C_{12}^4 + C_{10}^5 + C_{11}^6 = C_{14}^4 + C_{15}^5 + C_{16}^6 = C_{17}^7 + C_{18}^8 = C_{19}^9;$
   $C_{12}^6 = \frac{12!}{(12-6)! \cdot 6!} = \frac{12!}{6! \cdot 6!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 6!} = 2 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 924;$
7. $C_{21}^7 — C_{20}^7 = C_{20}^6;$
   $C_{20}^6 = \frac{20!}{(20-6)! \cdot 6!} = \frac{20!}{14! \cdot 6!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14!}{14! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 10 \cdot 19 \cdot 3 \cdot 17 \cdot 4 = 38760;$
8. $C_{25}^9 — C_{24}^9 = C_{24}^8;$
   $C_{24}^8 = \frac{24!}{(24-8)! \cdot 8!} = \frac{24!}{16! \cdot 8!} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16!}{16! \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 3 \cdot 23 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 19 \cdot 17 = 735471;$
9. $C_{15}^{10} — C_{14}^9 = C_{14}^{10};$
   $C_{14}^{10} = \frac{14!}{(14-10)! \cdot 10!} = \frac{14!}{4! \cdot 10!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 10!} = 7 \cdot 13 \cdot 11 = 1001;$
10. $C_{13}^8 — C_{12}^7 = C_{12}^8;$
    $C_{12}^8 = \frac{12!}{(12-8)! \cdot 8!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 8!} = 3 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 3 = 495;$

Мы знаем, что для любых целых чисел $m$ и $n$, где $m \geq n$, выполняется следующее рекуррентное свойство сочетаний:

$$C_m^n + C_m^{n+1} = C_{m+1}^{n+1}$$

Это свойство полезно для упрощения выражений, включающих суммы сочетаний.

Задача 1: $C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4$

Для вычисления суммы всех сочетаний на $C_4^1$, $C_4^2$, $C_4^3$ и $C_4^4$, применим формулу для суммы элементов строки треугольника Паскаля. Вспомним, что сумма всех элементов $n$-й строки треугольника Паскаля равна $2^n$.

Шаг 1: Сумма всех элементов $4$-й строки треугольника Паскаля

Сумма всех элементов 4-й строки:

$$C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 2^4 = 16$$

Однако нам нужно найти сумму с пропуском $C_4^0$. Поэтому:

$$C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 2^4 — C_4^0 = 16 — 1 = 15$$

Ответ: 15.

Задача 2: $C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4$

Аналогично решим для 5-й строки треугольника Паскаля.

Шаг 1: Сумма всех элементов $5$-й строки треугольника Паскаля

Сумма всех элементов 5-й строки:

$$C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 2^5 = 32$$

Нам нужно вычесть $C_5^0$ и $C_5^5$, чтобы получить сумму от $C_5^1$ до $C_5^4$:

$$C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 = 2^5 — C_5^0 — C_5^5 = 32 — 1 — 1 = 30$$

Ответ: 30.

Задача 3: $C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7$

Здесь нам нужно вычислить сумму всех сочетаний 7-й строки треугольника Паскаля. Используем те же рассуждения.

Шаг 1: Сумма всех элементов $7$-й строки треугольника Паскаля

Сумма всех элементов 7-й строки:

$$C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = 2^7 = 128$$

Ответ: 128.

Задача 4: $C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6$

Аналогично предыдущим задачам вычислим сумму всех элементов 6-й строки треугольника Паскаля.

Шаг 1: Сумма всех элементов $6$-й строки треугольника Паскаля

Сумма всех элементов 6-й строки:

$$C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6 = 2^6 = 64$$

Ответ: 64.

Задача 5: $C_{12}^2 + C_{12}^3 + C_{12}^4 + C_{12}^5$

Здесь применим рекуррентное свойство сочетаний, которое мы выводили выше.

Шаг 1: Применение рекуррентного свойства

Используем рекуррентное свойство сочетаний:

$$C_{12}^2 + C_{12}^3 + C_{12}^4 + C_{12}^5 = C_{13}^3 + C_{13}^4 + C_{13}^5$$

Давайте вычислим $C_{13}^3$:

$$C_{13}^3 = \frac{13!}{(13-3)! \cdot 3!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 286$$

Следовательно, мы можем записать:

$$C_{12}^2 + C_{12}^3 + C_{12}^4 + C_{12}^5 = C_{13}^3 + C_{13}^4 + C_{13}^5$$

Теперь найдём $C_{15}^5$:

$$C_{15}^5 = \frac{15!}{(15-5)! \cdot 5!} = \frac{15!}{10! \cdot 5!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{10! \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 3003$$

Ответ: 3003.

Задача 6: $C_{12}^3 + C_{12}^4 + C_{10}^5 + C_{11}^6$

Данный пример использует рекуррентное свойство сочетаний.

Шаг 1: Применение рекуррентного свойства

Используем рекуррентное свойство для этой суммы, находим $C_{12}^6$:

$$C_{12}^6 = \frac{12!}{(12-6)! \cdot 6!} = \frac{12!}{6! \cdot 6!} = 924$$

Ответ: 924.

Задача 7: $C_{21}^7 — C_{20}^7 = C_{20}^6$

Здесь мы вычисляем количество сочетаний для $C_{20}^6$.

Шаг 1: Вычисление $C_{20}^6$

$$C_{20}^6 = \frac{20!}{(20-6)! \cdot 6!} = \frac{20!}{14! \cdot 6!} = 38760$$

Ответ: 38760.

Задача 8: $C_{25}^9 — C_{24}^9 = C_{24}^8$

Используем формулу для вычисления $C_{24}^8$.

Шаг 1: Вычисление $C_{24}^8$

$$C_{24}^8 = \frac{24!}{(24-8)! \cdot 8!} = 735471$$

Ответ: 735471.

Задача 9: $C_{15}^{10} — C_{14}^9 = C_{14}^{10}$

Здесь вычислим количество сочетаний для $C_{14}^{10}$.

Шаг 1: Вычисление $C_{14}^{10}$

$$C_{14}^{10} = \frac{14!}{(14-10)! \cdot 10!} = 1001$$

Ответ: 1001.

Задача 10: $C_{13}^8 — C_{12}^7 = C_{12}^8$

Для вычисления $C_{12}^8$ используем следующую формулу.

Шаг 1: Вычисление $C_{12}^8$

$$C_{12}^8 = \frac{12!}{(12-8)! \cdot 8!} = 495$$

Ответ: 495.