ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1108 Алимов — Подробные Ответы

Сколько диагоналей имеет выпуклый:

Каждую вершину $n$-угольника можно соединить диагональю со всеми другими вершинами, кроме двух соседних, то есть с $(n — 3)$ вершинами; при этом каждая диагональ будет проведена дважды.

1) Количество диагоналей семиугольника:

$$A = 7 \cdot (7 — 3) \cdot \frac{1}{2} = 7 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 7 \cdot 2 = 14;$$

Ответ: 14.

2) Количество диагоналей восьмиугольника:

$$A = 8 \cdot (8 — 3) \cdot \frac{1}{2} = 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot 5 = 20;$$

Ответ: 20.

Для того чтобы решить задачу, давайте разберем, как найти количество диагоналей в выпуклом многоугольнике. Диагональю называется отрезок, соединяющий две вершины многоугольника, не являющиеся соседними.

Формула для вычисления диагоналей

Для любого выпуклого $n$-угольника количество диагоналей можно найти по следующей формуле:

$$D = \frac{n(n — 3)}{2}$$

где:

• $n$ — количество вершин (или сторон) многоугольника.

Почему именно эта формула?

1. Каждую вершину можно соединить с $n — 1$ другими вершинами.
2. Из этих $n — 1$ соединений два будут соседними вершинами (которые составляют стороны многоугольника), поэтому диагональю будет только $n — 3$ соединений с каждой вершиной.
3. Поскольку каждый отрезок диагонали считается дважды (например, диагональ $A$ соединяет вершины $A$ и $B$, а диагональ $B$ соединяет вершины $B$ и $A$), результат делим на 2.

Теперь применим эту формулу к каждому случаю.

1) Семигольник ($n = 7$)

Для семиугольника количество диагоналей можно вычислить по формуле:

$$D = \frac{7(7 — 3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = \frac{28}{2} = 14$$

Таким образом, семиугольник имеет 14 диагоналей.

2) Восьмиугольник ($n = 8$)

Для восьмиугольника количество диагоналей вычисляется по той же формуле:

$$D = \frac{8(8 — 3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = \frac{40}{2} = 20$$

Таким образом, восьмиугольник имеет 20 диагоналей.