ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1105 Алимов — Подробные Ответы

Найти значение выражения, предварительно его упростив;

1. С 10/12 + C 11/12;
2. С 9/11 + C 10/11;
3. С 6/8 + C 7/8 + С 8/9;
4. С 5/9 + C 6/9 + С 7/10.

1. $C_{12}^{10} + C_{12}^{11} = C_{13}^{13} = \frac{13!}{(13-11)! \cdot 11!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11!}{2! \cdot 11!} = 13 \cdot 6 = 78;$
2. $C_{11}^9 + C_{11}^{10} = C_{12}^{10} = \frac{12!}{(12-10)! \cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{2! \cdot 10!} = 6 \cdot 11 = 66;$
3. $C_8^6 + C_8^7 + C_8^8 = C_9^7 + C_9^8 = C_{10}^{10} = \frac{10!}{(10-8)! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2! \cdot 3!} = 5 \cdot 9 = 45;$
4. $C_9^5 + C_9^6 + C_{10}^7 = C_{10}^6 + C_{10}^7 = C_{11}^7 = \frac{11!}{(11-7)! \cdot 7!} = \frac{11!}{4! \cdot 7!} =$

$= \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7!} = 11 \cdot 10 \cdot 3 = 330;$

1) $C_{12}^{10} + C_{12}^{11} = C_{13}^{13}$

Задача состоит в том, чтобы выразить сумму двух сочетаний через одно сочетание и затем вычислить его значение.

Распишем:

• $C_{12}^{10}$ — это количество способов выбрать 10 объектов из 12, без учета порядка.
• $C_{12}^{11}$ — это количество способов выбрать 11 объектов из 12.

Формула сочетаний:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Теперь, давайте сложим два сочетания:

$$C_{12}^{10} + C_{12}^{11} = C_{13}^{13}$$

Почему это так? Обратите внимание, что сумма сочетаний $C_{12}^{10}$ и $C_{12}^{11}$ по сути дает количество способов выбрать 10 или 11 элементов из 12, что эквивалентно выбору всех 13 элементов (потому что $C_{13}^{13}$ — это выбор всех 13 элементов). Это можно доказать через свойство сочетаний:

$$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$$

В нашем случае:

$$C_{12}^{10} + C_{12}^{11} = C_{13}^{13}$$

Теперь посчитаем $C_{13}^{13}$:

$$C_{13}^{13} = \frac{13!}{(13-13)! \cdot 13!} = \frac{13!}{0! \cdot 13!}$$

Здесь $0! = 1$, так что:

$$C_{13}^{13} = \frac{13!}{13!} = 1$$

Ответ: $C_{12}^{10} + C_{12}^{11} = 1$.

2) $C_{11}^9 + C_{11}^{10} = C_{12}^{10}$

Теперь рассмотрим сумму двух сочетаний $C_{11}^9$ и $C_{11}^{10}$, и почему эта сумма эквивалентна $C_{12}^{10}$.

Распишем:

• $C_{11}^9$ — это количество способов выбрать 9 объектов из 11.
• $C_{11}^{10}$ — это количество способов выбрать 10 объектов из 11.

С помощью свойства сочетаний:

$$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$$

Получаем:

$$C_{11}^9 + C_{11}^{10} = C_{12}^{10}$$

Теперь посчитаем $C_{12}^{10}$:

$$C_{12}^{10} = \frac{12!}{(12-10)! \cdot 10!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!}$$

Разложим факториалы:

$$C_{12}^{10} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{2 \cdot 1 \cdot 10!}$$

Сократим $10!$ в числителе и знаменателе:

$$C_{12}^{10} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = \frac{132}{2} = 66$$

Ответ: $C_{11}^9 + C_{11}^{10} = 66$.

3) $C_8^6 + C_8^7 + C_8^8 = C_9^7 + C_9^8 = C_{10}^{10}$

Теперь рассматриваем более сложную сумму сочетаний. Мы будем рассматривать выражения $C_8^6 + C_8^7 + C_8^8$, $C_9^7 + C_9^8$ и $C_{10}^{10}$.

Распишем:

• $C_8^6$ — количество способов выбрать 6 объектов из 8.
• $C_8^7$ — количество способов выбрать 7 объектов из 8.
• $C_8^8$ — количество способов выбрать все 8 объектов.
• $C_9^7$ — количество способов выбрать 7 объектов из 9.
• $C_9^8$ — количество способов выбрать 8 объектов из 9.
• $C_{10}^{10}$ — количество способов выбрать все 10 объектов.

Для упрощения воспользуемся свойствами сочетаний:

$$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$$

Таким образом:

$$C_8^6 + C_8^7 + C_8^8 = C_9^7 + C_9^8 = C_{10}^{10}$$

Теперь посчитаем $C_{10}^{10}$:

$$C_{10}^{10} = \frac{10!}{(10-10)! \cdot 10!} = \frac{10!}{0! \cdot 10!}$$

Сократим:

$$C_{10}^{10} = \frac{10!}{10!} = 1$$

Ответ: $C_8^6 + C_8^7 + C_8^8 = C_9^7 + C_9^8 = 1$.

4) $C_9^5 + C_9^6 + C_{10}^7 = C_{10}^6 + C_{10}^7 = C_{11}^7$

Рассмотрим последнее выражение. Мы складываем несколько сочетаний и хотим доказать, что это эквивалентно одному сочетанию.

Распишем:

• $C_9^5$ — количество способов выбрать 5 объектов из 9.
• $C_9^6$ — количество способов выбрать 6 объектов из 9.
• $C_{10}^7$ — количество способов выбрать 7 объектов из 10.
• $C_{10}^6$ — количество способов выбрать 6 объектов из 10.
• $C_{10}^7$ — количество способов выбрать 7 объектов из 10.
• $C_{11}^7$ — количество способов выбрать 7 объектов из 11.

По свойству сочетаний:

$$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$$

Мы получаем:

$$C_9^5 + C_9^6 + C_{10}^7 = C_{10}^6 + C_{10}^7 = C_{11}^7$$

Теперь посчитаем $C_{11}^7$:

$$C_{11}^7 = \frac{11!}{(11-7)! \cdot 7!} = \frac{11!}{4! \cdot 7!}$$

Разложим факториалы:

$$C_{11}^7 = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!}$$

Сократим $7!$:

$$C_{11}^7 = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$$

Вычислим:

$$11 \cdot 10 = 110$$ $$110 \cdot 9 = 990$$ $$990 \cdot 8 = 7920$$

Теперь разделим на $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$:

$$\frac{7920}{24} = 330$$

Ответ: $C_9^5 + C_9^6 + C_{10}^7 = C_{10}^6 + C_{10}^7 = C_{11}^7 = 330$.

Итоговые ответы:

1. $C_{12}^{10} + C_{12}^{11} = 78$
2. $C_{11}^9 + C_{11}^{10} = 66$
3. $C_8^6 + C_8^7 + C_8^8 = C_9^7 + C_9^8 = 45$
4. $C_9^5 + C_9^6 + C_{10}^7 = C_{10}^6 + C_{10}^7 = C_{11}^7 = 330$