ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1105 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Найти значение выражения, предварительно его упростив;

С 10/12 + C 11/12;
С 9/11 + C 10/11;
С 6/8 + C 7/8 + С 8/9;
С 5/9 + C 6/9 + С 7/10.

Краткий ответ:

$C_{12}^{10} + C_{12}^{11} = C_{13}^{13} = \frac{13!}{(13-11)! \cdot 11!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11!}{2! \cdot 11!} = 13 \cdot 6 = 78;$
$C_{11}^9 + C_{11}^{10} = C_{12}^{10} = \frac{12!}{(12-10)! \cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{2! \cdot 10!} = 6 \cdot 11 = 66;$
$C_8^6 + C_8^7 + C_8^8 = C_9^7 + C_9^8 = C_{10}^{10} = \frac{10!}{(10-8)! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2! \cdot 3!} = 5 \cdot 9 = 45;$
$C_9^5 + C_9^6 + C_{10}^7 = C_{10}^6 + C_{10}^7 = C_{11}^7 = \frac{11!}{(11-7)! \cdot 7!} = \frac{11!}{4! \cdot 7!} =$

$= \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7!} = 11 \cdot 10 \cdot 3 = 330;$

Подробный ответ:

1) $C_{12}^{10} + C_{12}^{11} = C_{13}^{13}$

Задача состоит в том, чтобы выразить сумму двух сочетаний через одно сочетание и затем вычислить его значение.

Распишем:

$C_{12}^{10}$ — это количество способов выбрать 10 объектов из 12, без учета порядка.
$C_{12}^{11}$ — это количество способов выбрать 11 объектов из 12.

Формула сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Теперь, давайте сложим два сочетания:

$C_{12}^{10} + C_{12}^{11} = C_{13}^{13}$

Почему это так? Обратите внимание, что сумма сочетаний $C_{12}^{10}$ и $C_{12}^{11}$ по сути дает количество способов выбрать 10 или 11 элементов из 12, что эквивалентно выбору всех 13 элементов (потому что $C_{13}^{13}$ — это выбор всех 13 элементов). Это можно доказать через свойство сочетаний:

$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$

В нашем случае:

$C_{12}^{10} + C_{12}^{11} = C_{13}^{13}$

Теперь посчитаем $C_{13}^{13}$ :

$C_{13}^{13} = \frac{13!}{(13-13)! \cdot 13!} = \frac{13!}{0! \cdot 13!}$

Здесь $0! = 1$ , так что:

$C_{13}^{13} = \frac{13!}{13!} = 1$

Ответ: $C_{12}^{10} + C_{12}^{11} = 1$ .

2) $C_{11}^9 + C_{11}^{10} = C_{12}^{10}$

Теперь рассмотрим сумму двух сочетаний $C_{11}^9$ и $C_{11}^{10}$ , и почему эта сумма эквивалентна $C_{12}^{10}$ .

Распишем:

$C_{11}^9$ — это количество способов выбрать 9 объектов из 11.
$C_{11}^{10}$ — это количество способов выбрать 10 объектов из 11.

С помощью свойства сочетаний:

$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$

Получаем:

$C_{11}^9 + C_{11}^{10} = C_{12}^{10}$

Теперь посчитаем $C_{12}^{10}$ :

$C_{12}^{10} = \frac{12!}{(12-10)! \cdot 10!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!}$

Разложим факториалы:

$C_{12}^{10} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{2 \cdot 1 \cdot 10!}$

Сократим $10!$ в числителе и знаменателе:

$C_{12}^{10} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = \frac{132}{2} = 66$

Ответ: $C_{11}^9 + C_{11}^{10} = 66$ .

3) $C_8^6 + C_8^7 + C_8^8 = C_9^7 + C_9^8 = C_{10}^{10}$

Теперь рассматриваем более сложную сумму сочетаний. Мы будем рассматривать выражения $C_8^6 + C_8^7 + C_8^8$ , $C_9^7 + C_9^8$ и $C_{10}^{10}$ .

Распишем:

$C_8^6$ — количество способов выбрать 6 объектов из 8.
$C_8^7$ — количество способов выбрать 7 объектов из 8.
$C_8^8$ — количество способов выбрать все 8 объектов.
$C_9^7$ — количество способов выбрать 7 объектов из 9.
$C_9^8$ — количество способов выбрать 8 объектов из 9.
$C_{10}^{10}$ — количество способов выбрать все 10 объектов.

Для упрощения воспользуемся свойствами сочетаний:

$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$

Таким образом:

$C_8^6 + C_8^7 + C_8^8 = C_9^7 + C_9^8 = C_{10}^{10}$

Теперь посчитаем $C_{10}^{10}$ :

$C_{10}^{10} = \frac{10!}{(10-10)! \cdot 10!} = \frac{10!}{0! \cdot 10!}$

Сократим:

$C_{10}^{10} = \frac{10!}{10!} = 1$

Ответ: $C_8^6 + C_8^7 + C_8^8 = C_9^7 + C_9^8 = 1$ .

4) $C_9^5 + C_9^6 + C_{10}^7 = C_{10}^6 + C_{10}^7 = C_{11}^7$

Рассмотрим последнее выражение. Мы складываем несколько сочетаний и хотим доказать, что это эквивалентно одному сочетанию.

Распишем:

$C_9^5$ — количество способов выбрать 5 объектов из 9.
$C_9^6$ — количество способов выбрать 6 объектов из 9.
$C_{10}^7$ — количество способов выбрать 7 объектов из 10.
$C_{10}^6$ — количество способов выбрать 6 объектов из 10.
$C_{10}^7$ — количество способов выбрать 7 объектов из 10.
$C_{11}^7$ — количество способов выбрать 7 объектов из 11.

По свойству сочетаний:

$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$

Мы получаем:

$C_9^5 + C_9^6 + C_{10}^7 = C_{10}^6 + C_{10}^7 = C_{11}^7$

Теперь посчитаем $C_{11}^7$ :

$C_{11}^7 = \frac{11!}{(11-7)! \cdot 7!} = \frac{11!}{4! \cdot 7!}$

Разложим факториалы:

$C_{11}^7 = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!}$

Сократим $7!$ :

$C_{11}^7 = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Вычислим:

$11 \cdot 10 = 110$ $110 \cdot 9 = 990$ $990 \cdot 8 = 7920$

Теперь разделим на $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ :

$\frac{7920}{24} = 330$

Ответ: $C_9^5 + C_9^6 + C_{10}^7 = C_{10}^6 + C_{10}^7 = C_{11}^7 = 330$ .

Итоговые ответы:

$C_{12}^{10} + C_{12}^{11} = 78$
$C_{11}^9 + C_{11}^{10} = 66$
$C_8^6 + C_8^7 + C_8^8 = C_9^7 + C_9^8 = 45$
$C_9^5 + C_9^6 + C_{10}^7 = C_{10}^6 + C_{10}^7 = C_{11}^7 = 330$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы