ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1100 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. $$\frac{P_{x+1}}{P_{x-1}} = 30;$$

   $$\frac{}{}$$

2. $$\frac{P_x}{P_{x-2}}=42;$$

   $$\frac{}{}$$

3. $$\frac{1}{P_{x-5}} = \frac{56}{P_{x-3}};$$

   $$\frac{\mathrm{}}{}$$

4. $$\frac{1}{P_{x-4}} = \frac{110}{P_{x-2}};$$

   $$\frac{\mathrm{}}{}$$

5. $$A_{x+1}^3 = 72(x-1);$$

   $$\frac{}{}$$

6. $$A_{x-1}^4 = 40(x-2)(x-3);$$

   $$\frac{}{}$$

7. $$5C_{n+1}^3 = 8C_n^4;$$

   $$\mathrm{}$$

8. $$C_n^3=4C_{n-2}^{}$$

1)

$$\frac{P_{x+1}}{P_{x-1}} = 30;$$ $$\frac{(x+1)!}{(x-1)!} = 30;$$ $$\frac{(x+1) \cdot x \cdot (x-1)!}{(x-1)!} = 30;$$ $$x^2 + x — 30 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 30 = 1 + 120 = 121, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-1 — 11}{2} = -6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 11}{2} = 5;$$

Ответ: $x = 5$.

2)

$$\frac{P_x}{P_{x-2}} = 42;$$ $$\frac{x!}{(x-2)!} = 42;$$ $$\frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!}{(x-2)!} = 42;$$ $$x^2 — x — 42 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 42 = 1 + 168 = 169, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{1 — 13}{2} = -6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 13}{2} = 7;$$

Ответ: $x = 7$.

3)

$$\frac{1}{P_{x-5}} = \frac{56}{P_{x-3}};$$ $$\frac{1}{(x-5)!} = \frac{56}{(x-3)!};$$ $$\frac{(x-3)!}{(x-5)!} = 56;$$ $$(x-3) \cdot (x-4) \cdot (x-5)! = 56;$$ $$(x-3) \cdot (x-4) = 56;$$ $$x^2 — 7x + 12 — 56 = 0;$$ $$x^2 — 7x — 44 = 0;$$ $$D = 7^2 + 4 \cdot 44 = 49 + 176 = 225, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{7 — 15}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 15}{2} = 11;$$

Ответ: $x = 11$.

4)

$$\frac{1}{P_{x-4}} = \frac{110}{P_{x-2}};$$ $$\frac{1}{(x-4)!} = \frac{110}{(x-2)!};$$ $$\frac{(x-2)!}{(x-4)!} = 110;$$ $$(x-2) \cdot (x-3) \cdot (x-4)! = 110;$$ $$(x-2) \cdot (x-3) = 110;$$ $$x^2 — 5x + 6 — 110 = 0;$$ $$x^2 — 5x — 104 = 0;$$ $$D = 5^2 + 4 \cdot 104 = 25 + 416 = 441, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{5 — 21}{2} = -8 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 21}{2} = 13;$$

Ответ: $x = 13$.

5)

$$A_{x+1}^3 = 72(x-1);$$ $$\frac{(x+1)!}{(x+1-3)!} = 72(x-1);$$ $$\frac{(x+1) \cdot x \cdot (x-1)!}{(x-2)!} = 72(x-1);$$ $$(x+1) \cdot x = 72;$$ $$x^2 + x — 72 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 72 = 1 + 288 = 289, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-1 — 17}{2} = -9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 17}{2} = 8;$$

Ответ: $x = 8$.

6)

$$A_{x-1}^4 = 40(x-2)(x-3);$$ $$\frac{(x-1)!}{(x-1-4)!} = 40(x-2)(x-3);$$ $$\frac{(x-1)!}{(x-5)!} = 40(x-2)(x-3);$$ $$\frac{(x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3) \cdot (x-4) \cdot (x-5)!}{(x-5)!} = 40(x-2)(x-3);$$ $$(x-1)(x-4) = 40;$$ $$x^2 — 5x + 4 — 40 = 0;$$ $$x^2 — 5x — 36 = 0;$$ $$D = 5^2 + 36 \cdot 4 = 25 + 144 = 169, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{5 — 13}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 13}{2} = 9;$$

Ответ: $x = 9$.

7)

$$5C_{n+1}^3 = 8C_n^4;$$ $$5 \cdot \frac{(n+1)!}{(n+1-3)! \cdot 3!} = 8 \cdot \frac{n!}{(n-4)! \cdot 4!};$$ $$5 \cdot \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)! \cdot 3!} = \frac{8 \cdot n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4)!}{(n-4)! \cdot 4!};$$ $$\frac{5(n+1)}{6} = \frac{(n-2)(n-3)}{3};$$ $$5(n+1) = 2(n-2)(n-3);$$ $$5n + 5 = 2n^2 — 6n — 4n + 12;$$ $$2n^2 — 15n + 7 = 0;$$ $$D = 15^2 — 4 \cdot 2 \cdot 7 = 225 — 56 = 169, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{15 — 13}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{15 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{28}{4} = 7;$$

Ответ: $x = 7$.

8)

$$C_n^3 = 4C_{n-2}^2;$$ $$\frac{n!}{(n-3)! \cdot 3!} = 4 \cdot \frac{(n-2)!}{(n-2-2)! \cdot 2!};$$ $$\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3)!}{(n-3)! \cdot 3 \cdot 2} = \frac{4 \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4)!}{(n-4)! \cdot 2};$$ $$\frac{n(n-1)}{6} = 2(n-3);$$ $$n(n-1) = 12(n-3);$$ $$n^2 — n = 12n — 36;$$ $$n^2 — 13n + 36 = 0;$$ $$D = 13^2 — 4 \cdot 36 = 169 — 144 = 25, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{13 — 5}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{13 + 5}{2} = 9;$$

Ответ: $n_1 = 9$, $n_2 = 4$.

1) Решение:

$$\frac{P_{x+1}}{P_{x-1}} = 30$$

Это условие нам дает отношение двух факториалов. Представим это как:

$$\frac{(x+1)!}{(x-1)!} = 30$$

Теперь упростим выражение. Сократим общий множитель $(x-1)!$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(x+1) \cdot x \cdot (x-1)!}{(x-1)!} = 30$$

Сокращаем $(x-1)!$:

$$(x+1) \cdot x = 30$$

Раскроем это уравнение:

$$x^2 + x = 30$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + x — 30 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого вычислим дискриминант $D$:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 30 = 1 + 120 = 121$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 — 11}{2} = -6$$ $$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 + 11}{2} = 5$$

Ответ: $x = 5$.

2) Решение:

$$\frac{P_x}{P_{x-2}} = 42$$

Изначальное условие:

$$\frac{x!}{(x-2)!} = 42$$

Упростим это выражение:

$$\frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!}{(x-2)!} = 42$$

Сократим $(x-2)!$:

$$x \cdot (x-1) = 42$$

Раскроем это уравнение:

$$x^2 — x = 42$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 — x — 42 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого вычислим дискриминант $D$:

$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 42 = 1 + 168 = 169$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{1 — \sqrt{169}}{2} = \frac{1 — 13}{2} = -6$$ $$x_2 = \frac{1 + \sqrt{169}}{2} = \frac{1 + 13}{2} = 7$$

Ответ: $x = 7$.

3) Решение:

$$\frac{1}{P_{x-5}} = \frac{56}{P_{x-3}}$$

Перепишем это в виде:

$$\frac{1}{(x-5)!} = \frac{56}{(x-3)!}$$

Умножим обе стороны на $(x-5)! \cdot (x-3)!$:

$$(x-3)! = 56 \cdot (x-5)!$$

Теперь упростим:

$$\frac{(x-3)!}{(x-5)!} = 56$$

Раскроем факториалы:

$$(x-3) \cdot (x-4) \cdot (x-5)! = 56$$

Сократим $(x-5)!$:

$$(x-3) \cdot (x-4) = 56$$

Теперь раскроем:

$$x^2 — 7x + 12 = 56$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 — 7x — 44 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого вычислим дискриминант $D$:

$$D = (-7)^2 + 4 \cdot 44 = 49 + 176 = 225$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{7 — \sqrt{225}}{2} = \frac{7 — 15}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{7 + \sqrt{225}}{2} = \frac{7 + 15}{2} = 11$$

Ответ: $x = 11$.

4) Решение:

$$\frac{1}{P_{x-4}} = \frac{110}{P_{x-2}}$$

Это можно записать как:

$$\frac{1}{(x-4)!} = \frac{110}{(x-2)!}$$

Умножим обе стороны на $(x-4)! \cdot (x-2)!$:

$$(x-2)! = 110 \cdot (x-4)!$$

Теперь упростим:

$$\frac{(x-2)!}{(x-4)!} = 110$$

Раскроем факториалы:

$$(x-2) \cdot (x-3) \cdot (x-4)! = 110$$

Сократим $(x-4)!$:

$$(x-2) \cdot (x-3) = 110$$

Теперь раскроем:

$$x^2 — 5x + 6 = 110$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 — 5x — 104 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого вычислим дискриминант $D$:

$$D = (-5)^2 + 4 \cdot 104 = 25 + 416 = 441$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{5 — \sqrt{441}}{2} = \frac{5 — 21}{2} = -8$$ $$x_2 = \frac{5 + \sqrt{441}}{2} = \frac{5 + 21}{2} = 13$$

Ответ: $x = 13$.

5) Решение:

$$A_{x+1}^3 = 72(x-1)$$

Перепишем это как:

$$\frac{(x+1)!}{(x-2)!} = 72(x-1)$$

Упростим выражение:

$$(x+1) \cdot x = 72$$

Это квадратное уравнение:

$$x^2 + x — 72 = 0$$

Вычислим дискриминант $D$:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 72 = 1 + 288 = 289$$

Находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{289}}{2} = \frac{-1 — 17}{2} = -9$$ $$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{289}}{2} = \frac{-1 + 17}{2} = 8$$

Ответ: $x = 8$.

6) Решение:

$$A_{x-1}^4 = 40(x-2)(x-3)$$

Перепишем как:

$$\frac{(x-1)!}{(x-5)!} = 40(x-2)(x-3)$$

Упростим выражение:

$$(x-1)(x-4) = 40$$

Это квадратное уравнение:

$$x^2 — 5x + 4 — 40 = 0$$ $$x^2 — 5x — 36 = 0$$

Вычислим дискриминант $D$:

$$D = 5^2 + 36 \cdot 4 = 25 + 144 = 169$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{5 — \sqrt{169}}{2} = \frac{5 — 13}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{5 + 13}{2} = 9$$

Ответ: $x = 9$.

7) Решение:

$$5C_{n+1}^3 = 8C_n^4$$

Из этого получаем уравнение:

$$\frac{5(n+1)}{6} = \frac{(n-2)(n-3)}{3}$$

Решим это уравнение:

$$5(n+1) = 2(n-2)(n-3)$$

Решение:

$$2n^2 — 15n + 7 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 15^2 — 4 \cdot 2 \cdot 7 = 225 — 56 = 169$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = 7$$

Ответ: $x = 7$.

8) Решение:

$$C_n^3 = 4C_{n-2}^2$$

Это уравнение превращается в:

$$\frac{n(n-1)}{6} = 2(n-3)$$

Решаем:

$$n^2 — 13n + 36 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 25$$

Корни уравнения:

$$x_1 = 4, \quad x_2 = 9$$

Ответ: $n_1 = 9, n_2 = 4$.